(k₂=1, N=4) Kesen Problemi

[geo]

Üçgende Kesenin Kenarlarla Yaptığı Açı Üzerine konusunda anlatılan $(k_2 = 1, N=4)$ problemine ait çözümleri doğrudan ya da dolaylı olarak (ilgili konuya link vererek) bu başlık altında toplayacağız.
Öncelikle, soruyu hatırlatmak gerekirse;

$ABC$ üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $AB:DC=1$ olacak şekilde $D$ noktası alınıyor. $\angle ABC = b = 12^\circ$, $\angle ACB = c = 30^\circ$, $\angle BAC = a = 138^\circ$, $\angle ADC = d = 18^\circ$, $\angle BAD = a_1 =6^\circ $, $\angle CAD = a_2 = 132^\circ$ açıları verilen şartı sağlamakta. Bunlardan herhangi ikisi verildiğinde diğerlerinin bulunmasının sorulduğu sorular aşağıdaki tabloda verilmiştir.

$$
\begin{array}{l|l|l||l|}
k & N & \textbf{Soru} & \textbf{Cevap} \\
\hline
k_2 = 1 & 4.0 & (b = 12^\circ, c=30^\circ, d = 18^\circ)  & k_2 = 1 \\
& 4.1 & (k_2 = 1, b=12^\circ, c = 30^\circ)  & a_1 = 6^\circ \\
& 4.2 & (k_2 = 1, a=138^\circ, d = 18^\circ)  & a_1 = 6^\circ \\
& 4.3 & (k_2 = 1, b=12^\circ, a_1 = 6^\circ)  & a_2 = 132^\circ  \\
& 4.4 & (k_2 = 1, b=12^\circ, a_2 = 132^\circ )  & a_1 = 6^\circ \\
& 4.5^* & (k_2 = 1, c=30^\circ, a_1 = 6^\circ)  & a_2 = 132^\circ \text{ veya } a_2 = ? \\
& 4.6 & (k_2 = 1, c=30^\circ, a_2 = 132^\circ)  & a_1 = 6^\circ \\
& 4.7 & (k_2 = 1, a_1=6^\circ , a_2 = 132^\circ)  & b = 12^\circ \\

\end{array}
$$

4.0 (Trigonometrik), 4.0
4.1
4.2
4.3
4.4 (Trigonometrik)
4.5
4.6
4.7

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 4.0) \equiv (b=12^\circ , c = 30^\circ, d = 18^\circ) \Longrightarrow k_2 = 1 $

Çözüm:

$AE = ED$ olacak şekilde $[AB]$ üzerinde bir $E$ noktası alalım. $\angle EAD = \angle EDA = 6^\circ$ ve $AE=ED=BD$ olacaktır.

$[DC]$ üzerinde $AB=BF$ olacak şekilde bir $F$ noktası alalım. $\angle BAF = \angle BFA = 84^\circ$ ve $\angle FAC = 54^\circ$ olacaktır.

$ADF$ üçgeninin çevrel merkezi $O$ olsun. $\angle AOD = 168^\circ$, $\angle DAO = \angle ADO = 6^\circ$, $\triangle AED \cong \triangle AOD$, $\angle OAF = \angle OFA = 72^\circ$ olacaktır.

$OA$ nın uzantısı üzerinde $AF=AG$ olacak şekilde $G$ noktası alalım. $\angle AGF = \angle AFG = 36^\circ$, $\angle GAC = \angle CAF = 54^\circ$ olduğu için $AC$ doğrusu $GF$ nin orta dikmesidir. Bu durumda $GC = CF$ ve $\angle GCA = ACF = 30^\circ$ olacağı için $\triangle GCF$ bir eşkenar üçgendir.
$\angle AOF = \angle AGF =36^\circ$ olduğu için $FC=GF=OF=AO=AE=ED=BD$ elde edilir. Bu durumda $AB = BD+DF = FC + DF = CD \Rightarrow k_2 = 1$ olacaktır.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 4.0) \equiv (b=12^\circ , c = 30^\circ, d = 18^\circ) \Longrightarrow k_2 = 1$

Trigonometrik olarak çözelim:

Çözüm:

Sinüs Teoreminden elde ettiğimiz $$ \begin{array}{lcl}
\dfrac {AB}{AD} &=& \dfrac {\sin d}{\sin b} \\ \\
\dfrac {AD}{DC} &=& \dfrac {\sin c}{\sin (c+d)}
\end{array}$$ eşitliklerini taraf tarafa çarparsak $$k_2
= \dfrac{AB}{DC} =\dfrac{\sin d \cdot \sin c}{\sin b \cdot \sin (c+d)} $$ elde ederiz.
Değerleri yerine yazarsak $k_2 = \dfrac{\sin 18^\circ \cdot \sin 30^\circ}{\sin 12^\circ \cdot \sin 48^\circ} = \dfrac{2\sin 18^\circ \cdot \sin 30^\circ}{2\sin 12^\circ \cdot \sin 48^\circ} = \dfrac {\sin 18^\circ}{\cos 36^\circ - \cos 60^\circ} = \dfrac {\cos 72^\circ}{\cos 36^\circ - \cos 60^\circ}$ elde ederiz.

Meşhur $\cos 36^\circ - \cos 72^\circ = \dfrac 12 = \cos 60^\circ$ eşitliğini kullanarak $k_2 = 1$ elde ederiz.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 4.1) \equiv (b=12^\circ , c = 30^\circ) \Longrightarrow a_1 = 6^\circ$

Çözüm:

$AB=BF$ olacak şekilde $[CD]$ üzerinde $F$ noktası alalım. $AB=BF=BD+DF=CD=DF+FC \Rightarrow BD = FC$. Ayrıca $\angle BAF = \angle BFA = 84^\circ$ ve $\angle FAC = 54^\circ$ olacaktır.

$F$ nin $AC$ ye göre simetriği $G$ olsun. $\angle AGF = \angle AFG = 36^\circ$ ve $\triangle FGC$ eşkenar üçgendir.

$GA$ nın uzantısı üzerinde $\angle FOA = \angle OGF = 36^\circ$ olacak şekilde $O$ noktası alalım. $OF=FG=FC$ ve $\angle OAF = \angle OFA = 72^\circ$ elde edilir.

$\triangle ABF$ ve $\triangle AOF$ ikizkenar üçgen olduğu için $BO$, $\angle ABF$ nin açıortayıdır. $\angle ABO = \angle OBF = 6^\circ$.

$OF=FC$ ve $\angle OFB = \angle AFB - \angle OFA = 84^\circ - 72^\circ = 12^\circ$ olduğu için $\angle FOC = \angle FCO = 6^\circ$.

$\angle OBF = \angle FCO$ olduğu için $OB=OC$. Ayrıca $BD=CF$ olduğu için $(KAK)$ dan $\triangle OBD \cong \triangle OCF$. O halde $OD = OF$ yani $O$ noktası $\triangle ADF$ nin çevrel merkezidir. $\angle DAO =\angle ODA = 6^\circ$ ve $\angle ABO=\angle OBD = 6^\circ$ olduğu için $ABDO$ kirişler dörtgenidir. Dolayısıyla $a_1 = \angle BAD = \angle DAO = 6^\circ$ dir.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 4.3) \equiv (b=12^\circ , a_1 = 6^\circ) \Longrightarrow a_2 = 132^\circ$

Çözüm:

$[AB]$ üzerinde $AE=DE$ olacak şekilde $E$ ve $[CD]$ üzerinde $AB=BF$ olacak şekilde $F$ noktası alalım.
$\angle EAD = \angle EDC = 6^\circ$, $\angle BED = \angle EDB = 12^\circ$, $\angle BFA = \angle BAF = 84^\circ$.
$BF = AB=CD$ olduğu için $CF = BD = ED= EA$.

$\triangle ADF$ nin çevrel merkezi $O$ olsun. $\angle AOF = 36^\circ$, $\angle OAF = \angle OFA = 72^\circ$, $\angle OAD = \angle ODA =6^\circ$ olacaktır.
$\triangle AED \cong AOD$ olduğu için $CF=BD=ED=OD=OF$.

$OA$ nın uzantısı üzerinde $FG=FO$ olacak şekilde $G$ noktası alalım. $\angle GOF = \angle OGF = 36^\circ$, $\angle AFG = \angle OAF - \angle AGF = 72^\circ - 36^\circ = 36^\circ$, dolayısıyla $AF=AG$ olacaktır.
$\angle GFC= 180^\circ - \angle BFA - \angle AFG = 180^\circ - 84^\circ - 36^\circ = 60^\circ$ ve $FG=FO=FC$ olduğu için $\triangle FGC$ eşkenardır. Bu durumda $FC=GC$ ve $AG=AF$ olduğu için $AGCF$ bir deltoiddir. $CA$ köşegeni açıortay olacağı için $\angle ACF = 30^\circ$ ve $a_2 = \angle DAC = 180^\circ - 6^\circ - 12^\circ - 30^\circ = 132^\circ$ dir.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 4.6) \equiv (c=12^\circ , a_2 = 132^\circ) \Longrightarrow a_1 = 6^\circ$

Çözüm:

$\angle AFD = 84^\circ$ olacak şekilde $CD$ üzerinde $F$ noktası alalım.
$F$ nin $AC$ ye göre simetriği $G$ olsun. $CF=CG$, $\angle FCG= \angle FCA + \angle ACG = 60^\circ$ olduğu için $\triangle FCG$ eşkenardır. Bu durumda $\angle GFC = 60^\circ$ ve $\angle AGF = \angle AFG = 180^\circ - 84^\circ - 60^\circ = 36^\circ$ dir.

$GA$ nın uzantısı üzerinde $OF=GF$ olacak şekilde $O$ noktası alalım. $\angle AOF = \angle AGF = 36^\circ$, $\angle OAF = 72^\circ$, $\angle OFG = 180^\circ - \angle FOA - \angle OAF = 180^\circ - 36^\circ- 72^\circ = 72^\circ$ olduğu için $AO = FO$ olacaktır. Ayrıca $\angle AOF = 2\angle ADF = 36^\circ$ olduğu için $\triangle ADF$ nin çevrel merkezi $O$ olacaktır.
Bu durumda $\angle OAD = \angle ADO = 6^\circ$ ve $\angle ODF = OFD = 12^\circ$ olacaktır.

$\triangle FOC \cong OAD$ olduğu için $OC=AD$.
$\triangle ADB$ ile $\triangle COD$ yi inceleyelim. $AB=CD$ ve bu kenarları gören açılar için $\angle ADB = \angle COD = 180^\circ - 6^\circ - 12^\circ = 162$ eşitliği yazılabilir.
$AD=CO$ olduğu için Sinüs Teoremi gereği $\sin \angle ABD = \sin \angle CDO = \sin 12^\circ$ olacaktır. Bu durumda $\angle ABD = 12^\circ$ ya da $\angle ABD = 168^\circ$ olmalıdır. İkincisi mümkün olmadığı için aradığımız yanıt $\angle ABD = 12^\circ$ ve $a_1 = \angle BAD = 6^\circ$ dir.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 4.4) \equiv (b=12^\circ , a_2 = 132^\circ) \Longrightarrow a_1 = 6^\circ$

Çözüm: (Trigonometrik)

$\dfrac {AB}{AD} = \dfrac {\sin d}{\sin b}$, $\dfrac {AD}{DC} = \dfrac {\sin c}{\sin a_2}$, dolayısıyla $\dfrac {AB}{DC} = \dfrac {\sin d \cdot \sin c }{\sin b \cdot \sin a_2} = 1 \Longrightarrow \sin d \cdot \sin c = \sin b \cdot \sin a_2$ eşitliği bu soru tipinin karakteristik denklemi.

$\angle ACB = \alpha$ dersek, denklem $\sin (48^\circ - \alpha) \sin \alpha = \sin 12^\circ \cdot \sin 132^\circ = \sin 12^\circ \cdot \sin 48^\circ$ denklemine dönüşür.

$2 \sin (48^\circ - \alpha) \sin \alpha =  \cos (48^\circ - 2\alpha ) - \cos 48^\circ $ ile $2 \sin 12^\circ \sin 48^\circ = \cos 36^\circ - \cos 60^\circ = \cos 72^\circ$ eşitliklerini birleştirirsek $$\cos (48^\circ - 2\alpha)  =  \cos 48^\circ + \cos 72^\circ = 2 \cos 60^\circ \cos 12^\circ = \cos 12^\circ  = \Longrightarrow \alpha = 18^\circ$$ elde edilir. Bu durumda $a_1 = \angle BAD = 6^\circ$ elde edilir.