$m,n\geq 1$ olduğundan $m^3+n,n^3+m>1$ olacaktır. Dolayısıyla $(m^3+n,n^3+m)=(p^2,p)$ veya $(p,p^2)$ olabilir. Eğer $m=n$ ise $(m^3+m)^2=p^3$ elde edilir fakat sağ taraf tamkare olmadığından çözüm gelmez. Genelliği bozmadan $m>n$ olsun. Bu durumda $m^3+n>n^3+m$ olacaktır çünkü $f(x)=x^3-x$ fonksiyonu $x\geq 1$ için artandır. Yani $(m^3+n,n^3+m)=(p^2,p)$ olmalıdır.
$m=p-n^3$ yazarsak, $$m^3+n=(p-n^3)^3+n=p^2 \implies n^9-n\equiv 0\pmod{p}$$ elde edilir. $p\mid n$ ise $n^3+m>p$ olacağından çelişki olacaktır. Yani $n^8\equiv 1\pmod{p}$'dir. $$n^8-1=(n-1)(n+1)(n^2+1)(n^4+1)\equiv 0\pmod{p}$$ olacaktır. $p=n^3+m>n^3$ olduğundan $n=1$ veya $p\mid n^4+1$ olacaktır.
$n^4\equiv -1\pmod{p}$ ise $$n(n^3+m)\equiv n^4+mn\equiv mn-1\pmod{p}$$ elde edilir. $mn>1$ olduğundan $mn-1\geq p$ olmalıdır. $$p^3=(m^3+n)(n^3+m)>m^3n^3\implies p>mn\geq p+1$$ çelişkisi elde edilir.
Kalan tek durum $n=1$ olmasıdır. Bu durumda $m=p-1$ olacağından $$m^3+n=(p-1)^3+1=p^2\implies p(p-1)(p-3)=0\implies p=3$$ elde edilir. Yani $(m,n,p)=(2,1,3)$ olacaktır. Simetriden dolayı tüm çözümler $(m,n,p)=(2,1,3),(1,2,3)$ bulunur.
