Genelleştirilmiş IMO 2004 #4 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$n\geq \dfrac{p}{2}$ bir tam sayı olmak üzere; $t_1,t_2,\dots, t_n,\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$ pozitif gerçel sayıları için
$$z=\sqrt{\dfrac{\lambda_1+\dfrac{3}{5\lambda_n}}{\lambda_1}}+\sqrt{\dfrac{\lambda_2+\dfrac{3}{5\lambda_n}}{\lambda_2}}+\sqrt{\dfrac{\lambda_n-\dfrac{3}{5\lambda_n}}{\lambda_n}}-3$$
verilsin ve
$$n^2+ z\left(z+p\right) > (\lambda_1t_1+\lambda_2t_2+\dots+\lambda_nt_n)\left(\dfrac 1{\lambda_1t_1} + \dfrac 1{\lambda_2t_2} + \dots + \dfrac 1{\lambda_nt_n} \right)$$
koşulunu sağlansın. $1\leq i < j < k \leq n$ koşulunu sağlayan her $i$, $j$, $k$ sayıları için $t_i$, $t_j$, $t_k$ sayılarının bir üçgenin kenarları olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=1 \Rightarrow z=\sqrt{10}-3, p=6$$
verildiğinde $z\left(z+p\right)=\left(\sqrt{10}-3\right)\left(\sqrt{10}+3\right)=1$ elde edilir ve problem IMO 2004 #4'e dönüşür.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelliği bozmadan $t_n\geq t_{n-1}\geq \cdots \geq t_1$ olsun.
Soruda bu eşitsizliği sağlayan $t_i$ lerden herhangi farklı üçünün bir üçgen oluşturduğu ispatlamamız isteniyor. Aksini varsayalım, $t_n\geq t_1+t_2$ olsun. Buna göre $\lambda _nt_n\geq \left(\lambda _n-\dfrac{3}{5\lambda_n}\right)t_n+\dfrac{3}{5\lambda_n}\left(t_1+t_2\right)$ olduğunu söyleyebiliriz.
Dolayısıyla
$$LHS=\left(\lambda_1t_1+\lambda_2t_2+\cdots+\lambda_nt_n\right)\left(\dfrac{1}{\lambda_1t_1}+\dfrac{1}{\lambda_2t_2}+\cdots+\dfrac{1}{\lambda_nt_n}\right)\geq \left(\lambda_1t_1+\lambda_2t_2+\cdots+\left(\lambda _n-\dfrac{3}{5\lambda_n}\right)t_n+\dfrac{3}{5\lambda_n}\left(t_1+t_2\right)\right)\left(\dfrac{1}{\lambda_1t_1}+\dfrac{1}{\lambda_2t_2}+\cdots+\dfrac{1}{\lambda_nt_n}\right)$$
$$=\left(\left(\lambda_1+\dfrac{3}{5\lambda_n}\right)t_1+\left(\lambda_2+\dfrac{3}{5\lambda_n}\right)t_2+\lambda _3t_3+\cdots+\lambda _{n-1}t_{n-1}+\left(\lambda_n-\dfrac{3}{5\lambda_n}\right)t_n\right)\left(\dfrac{1}{\lambda _1t_1}+\dfrac{1}{\lambda _2t_2}+\cdots+\dfrac{1}{\lambda _nt_n}\right)\overbrace{\geq}^{Cauchy} \left(n+z\right)^2$$
Sondaki eşitsizliği gösterelim
$$=\left(\left(\lambda_1+\dfrac{3}{5\lambda_n}\right)t_1+\left(\lambda_2+\dfrac{3}{5\lambda_n}\right)t_2+\lambda _3t_3+\cdots+\lambda _{n-1}t_{n-1}+\left(\lambda_n-\dfrac{3}{5\lambda_n}\right)t_n\right)\left(\dfrac{1}{\lambda _1t_1}+\dfrac{1}{\lambda _2t_2}+\cdots+\dfrac{1}{\lambda _nt_n}\right)$$
$$\geq \left [\sqrt{\left(\lambda_1+\dfrac{3}{5\lambda_n}\right)t_1}.\sqrt{\dfrac{1}{\lambda _1t_1}}+\sqrt{\left(\lambda_2+\dfrac{3}{5\lambda_n}\right)t_2}.\sqrt{\dfrac{1}{\lambda _2t_2}}+\sqrt{\lambda _3t_3}.\sqrt{\dfrac{1}{\lambda _3t_3}}+\sqrt{\lambda _4t_4}.\sqrt{\dfrac{1}{\lambda_4 t_4}}+\cdots+\sqrt{\lambda _{n-1}t_{n-1}}.\sqrt{\dfrac{1}{\lambda _{n-1}t_{n-1}}}+\sqrt{\left(\lambda_n-\dfrac{3}{5\lambda_n}\right)t_n}.\sqrt{\dfrac{1}{\lambda _nt_n}}\right ]^2$$
$$=\left [\sqrt{\dfrac{\lambda_1+\dfrac{3}{5\lambda_n}}{\lambda_1}}+\sqrt{\dfrac{\lambda_2+\dfrac{3}{5\lambda_n}}{\lambda_2}}+\overbrace{1+1+\cdots+1}^{n-3}+\sqrt{\dfrac{\lambda_n-\dfrac{3}{5\lambda_n}}{\lambda_n}}\right ]^2=\left(n+z\right)^2$$
elde edilir.
Sonuç olarak $t_n\geq t_1+t_2$ durumunda
$$LHS\geq \left(n+z\right)^2\geq n^2+z\left(z+p\right)$$
olduğunu gösterirsek çelişkiyi elde etmiş olacağız. Gösterelim
$$\left(n+z\right)^2=n^2+2nz+z^2\geq n^2+z^2+2zp\Rightarrow n\geq \dfrac{p}{2}$$
Ki bu ise soru kokünde verilmiştir ve bundan dolayı eşitsizlik çalışır ve çelişkiyi elde ederiz. Çelişkimiz ise şudur :
$t_n\geq t_1+t_1$ durumunda $LHS\geq n^2+1$ elde edilir. Bundan dolayı $t_n< t_1+t_2$ olmalıdır dolayısıyla üçgen oluşturmaları gerekir. Boylelikle ispat tamamlanır.

Problemin ispatı, genelliği bozmadan kısmında $\max{t_1}=t_n$ verilerek de gösterilebilirdi. Ayrıca her üçgen oluşturan $t_i$ ler eşitsizliği sağlamak zorunda değillerdir ama tersi doğrudur.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 2
$n\geq \dfrac{p}{2}$ bir tam sayı olmak üzere; $t_1,t_2,\dots, t_n,\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n,\alpha$ ($\alpha<2$) pozitif gerçel sayıları için
$$z=\sqrt{\dfrac{\lambda_1+\dfrac{3}{5\alpha\lambda_n}}{\lambda_1}}+\sqrt{\dfrac{\lambda_2+\dfrac{3}{5\alpha\lambda_n}}{\lambda_2}}+\sqrt{\dfrac{\lambda_n-\dfrac{3}{5\lambda_n}}{\lambda_n}}-3$$
verilsin ve
$$n^2+ z\left(z+p\right) > (\lambda_1t_1+\lambda_2t_2+\dots+\lambda_nt_n)\left(\dfrac 1{\lambda_1t_1} + \dfrac 1{\lambda_2t_2} + \dots + \dfrac 1{\lambda_nt_n} \right)$$
koşulunu sağlansın. $1\leq i < j < k \leq n$ koşulunu sağlayan her $i$, $j$, $k$ sayıları için   $\alpha t_i< t_j+t_k$ olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$\alpha=1$$
verildiğinde problem Genelleştirme 1'e dönüşür.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 3
$n\geq \dfrac{p}{2}$ bir tam sayı olmak üzere; $t_i,\lambda_i,\beta_i,i_i,s$ ($\sum\limits_{\beta_1}>1$) pozitif gerçel sayıları için $\beta_1\leq \beta_2\leq \cdots \leq \beta_n$ sıralaması yapılsın. Ayrıca
$$z=\sum\limits_{i=1}^{s}{\left(\sqrt{1+\dfrac{3\beta_i}{5\lambda_i\lambda_n}}\right)}+\sqrt{1-\dfrac{3}{5\lambda _n^2}}-s$$
verilsin ve
$$n^2+ z\left(z+p\right) > (\lambda_1t_1+\lambda_2t_2+\dots+\lambda_nt_n)\left(\dfrac 1{\lambda_1t_1} + \dfrac 1{\lambda_2t_2} + \dots + \dfrac 1{\lambda_nt_n} \right)$$

koşulunu sağlansın. $1\leq i_1 < i_2<\cdots <i_s\leq n$ koşulunu sağlayan her $i_1,i_2,\cdots,i_s$ ($s\leq n$) sayıları için   $t_{i_1}< \beta_1t_{i_2}+\beta_2t_{i_3}+\cdots+\beta_{s-1}t_{i_s}$ olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$s=3,\beta_1=\beta_2=\dfrac{1}{\alpha}$$
verildiğinde problem Genelleştirme 2'ye dönüşür.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 3'ün ispatında sadece $z$'nin tanımının istenen duruma göre değişiklik gösterip çelişki sonrası $n^2+z\left(z+p\right)<RHS$ olacağını gözlemleyelim.
Genelliği bozmadan $t_n\geq t_{n-1}\geq \cdots \geq t_1$ olsun.
Soruda bu eşitsizliği sağlayan $t_i$ lerden herhangi farklı üçünün $t_{i_1}< \beta_1t_{i_2}+\beta_2t_{i_3}+\cdots+\beta_{s-1}t_{i_s}$ eşitsizliğini sağladığını göstermemiz isteniyor. Aksini varsayalım, $t_n\geq \beta_1t_1+\beta_2t_2+\cdots+\beta_{s-1}t_{i_{s-1}}$ olsun. Buna göre $\lambda _nt_n\geq \left(\lambda _n-\dfrac{3}{5\lambda_n}\right)t_n+\dfrac{3}{5\lambda_n}\left(\beta_1t_1+\beta_2t_2+\cdots+\beta_{s-1}t_{i_s}\right)$ olduğunu söyleyebiliriz.
Dolayısıyla
$$LHS=\left(\lambda_1t_1+\lambda_2t_2+\cdots+\lambda_nt_n\right)\left(\dfrac{1}{\lambda_1t_1}+\dfrac{1}{\lambda_2t_2}+\cdots+\dfrac{1}{\lambda_nt_n}\right)\geq \left(\lambda_1t_1+\lambda_2t_2+\cdots+\left(\lambda _n-\dfrac{3}{5\lambda_n}\right)t_n+\dfrac{3}{5\lambda_n}\left(\beta_1t_1+\beta_2t_2+\cdots+\beta_{s-1}t_{i_s}\right)\right)\left(\dfrac{1}{\lambda_1t_1}+\dfrac{1}{\lambda_2t_2}+\cdots+\dfrac{1}{\lambda_nt_n}\right)$$
$$=\left(\left(\lambda_1+\dfrac{3\beta_1}{5\lambda_n}\right)t_1+\left(\lambda_2+\dfrac{3\beta_2}{5\lambda_n}\right)t_2+\left(\lambda_3+\dfrac{3\beta_3}{5\lambda_n}\right)t_3+\cdots+\left(\lambda_{s-1}+\dfrac{3\beta_{s-1}}{5\lambda_n}\right)t_{s-1}+\lambda_s t_s+\lambda_{s+1} t_{s+1}+\cdots+\lambda _{n-1}t_{n-1}+\left(\lambda_n-\dfrac{3}{5\lambda_n}\right)t_n\right)\left(\dfrac{1}{\lambda _1t_1}+\dfrac{1}{\lambda _2t_2}+\cdots+\dfrac{1}{\lambda _nt_n}\right)$$
$$\geq \left(n-s+\sum\limits_{i=1}^{s}{\left(\sqrt{1+\dfrac{3\beta_i}{5\lambda_i\lambda_n}}\right)}+\sqrt{1-\dfrac{3}{5\lambda _n^2}}\right)^2= \left(n+z\right)^2$$
Sondaki eşitsizliği gösterelim
$$=\left(\left(\lambda_1+\dfrac{3\beta_1}{5\lambda_n}\right)t_1+\left(\lambda_2+\dfrac{3\beta_2}{5\lambda_n}\right)t_2+\left(\lambda_3+\dfrac{3\beta_3}{5\lambda_n}\right)t_3+\cdots+\left(\lambda_{s-1}+\dfrac{3\beta_{s-1}}{5\lambda_n}\right)t_{s-1}+\lambda_s t_s+\lambda_{s+1} t_{s+1}+\cdots+\lambda _{n-1}t_{n-1}+\left(\lambda_n-\dfrac{3}{5\lambda_n}\right)t_n\right)\left(\dfrac{1}{\lambda _1t_1}+\dfrac{1}{\lambda_2 t_2}+\cdots+\dfrac{1}{\lambda _nt_n}\right)$$
$$\overbrace{\geq}^{Cauchy} \left [\sqrt{\left(\lambda_1+\dfrac{3\beta_1}{5\lambda_n}\right)t_1}.\sqrt{\dfrac{1}{\lambda _1t_1}}+\sqrt{\left(\lambda_2+\dfrac{3\beta_2}{5\lambda_n}\right)t_2}.\sqrt{\dfrac{1}{\lambda _2t_2}}+\cdots+\sqrt{\left(\lambda_{s-1}+\dfrac{3\beta_{s-1}}{5\lambda_n}\right)t_{s-1}}.\sqrt{\dfrac{1}{\lambda _{s-1}t_{s-1}}}+\sqrt{\lambda _st_s}.\sqrt{\dfrac{1}{\lambda _st_s}}+\sqrt{\lambda_{s+1}t_{s+1}}.\sqrt{\dfrac{1}{\lambda_{s+1} t_{s+1}}}+\cdots+\sqrt{\lambda _{n-1}t_{n-1}}.\sqrt{\dfrac{1}{\lambda _{n-1}t_{n-1}}}+\sqrt{\left(\lambda_n-\dfrac{3}{5\lambda_n}\right)t_n}.\sqrt{\dfrac{1}{\lambda _nt_n}}\right ]^2$$
$$=\left [\sum\limits_{i=1}^{s}{\left(\sqrt{1+\dfrac{3\beta_i}{5\lambda_i\lambda_n}}\right)}+\overbrace{1+1+\cdots+1}^{n-3}+\sqrt{1-\dfrac{3}{5\lambda _n^2}}\right ]^2=\left(n+z\right)^2$$
elde edilir.
Sonuç olarak $t_n\geq \beta_1t_1+\beta_2t_2+\cdots+\beta_{s-1}t_{i_{s-1}}$ durumunda
$$LHS\geq \left(n+z\right)^2\geq n^2+z\left(z+p\right)$$
olduğunu gösterirsek çelişkiyi elde etmiş olacağız. Gösterelim
$$\left(n+z\right)^2=n^2+2nz+z^2\geq n^2+z^2+2zp\Rightarrow n\geq \dfrac{p}{2}$$
Ki bu ise soru kokünde verilmiştir ve bundan dolayı eşitsizlik çalışır ve çelişkiyi elde ederiz. Çelişkimiz ise şudur :
$t_n\geq \beta_1t_1+\beta_2t_2+\cdots+\beta_{s-1}t_{i_{s-1}}$ durumunda $LHS\geq n^2+z\left(z+p\right)$ elde edilir. Bundan dolayı $t_{i_1}< \beta_1t_{i_2}+\beta_2t_{i_3}+\cdots+\beta_{s-1}t_{i_s}$ olmalıdır. Boylelikle ispat tamamlanır.




Notlar:

$\bullet$ Problemin ispatı, genelliği bozmadan kısmında $\max{t_1}=t_n$ verilerek de gösterilebilirdi. Ayrıca her verilen koşulu $t_i$ ler eşitsizliği sağlamak zorunda değillerdir ama tersi doğrudur.

$\bullet$ $\beta_i$ sırası önemlidir. Şayet herhangi $i_i$ için verilen koşulun sağlanırsa $\max(t_i)<\min_1(\beta_i)\cdot \min_1(t_i)+\min_2(\beta_i)\cdot \min_2(t_i)+\cdots+\min_{s-1}(\beta_i)\cdot \min_{s-1}(t_i)$ olduğu kullanılmıştır($\min_i$ burada küçük-eşit sırasında en küçükten başlayarak $i$'inci sayıyı göstermektedir). Bu zaten diğer $t_i$'lerin de koşulu sağlaması demektir. O yüzden $i_2=1,i_3=2,\cdots,i_{s-1}=s-2$ olarak inşa edilmiştir.