USAMO 2018 #1

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$a,b,c,n$ pozitif reeller olmak üzere
$a+b+c=4\sqrt[3]{abc}$ ise


$$2\left(ab+bc+ca\right)+4\min(a^2,b^2,c^2)\ge a^2+b^2+c^2$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$a,b,c,n$ pozitif reeller olmak üzere
$a+b+c=n\sqrt[3]{abc}$ ve $n\leq 4$ ise


$$\left(n-2\right)\left(ab+bc+ca\right)+n\min(a^2,b^2,c^2)\ge a^2+b^2+c^2$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Bu problemden aslında $n=4$ ün en iyi değer olduğuna ulaşılabilir. Ayrıca $n<4$ durumlarında eşitlik söz konusu değildir ve işaret büyük eşitten büyüktür işaretine dönüşür.