$x$ -- $(y+1)$ -- $x$ -- $y$ diye belirtelim.
Biz biliyoruz ki bir tamkare:
$(mod 4)$ te $0$,$1$
$(mod 3)$ te $0$,$1$
$(mod 9)$ da $0$,$1$,$4$,$7$
$(mod 10)$ da $0$,$1$,$4$,$5$,$6$,$9$
değerlerini alabilir.
O zaman y'nin $0$,$1$,$4$,$5$,$6$,$9$değerlerini ayrı ayrı inceleyelim.
1-) $y=0$
=> $x$ -- $1$ -- $x$ -- $0$
$(mod 3)$'te A={0,3,6,9,1,4,7} olabilir.
$(mod 9)$'da B={0,3,4,6,9} olabilir.
Bu ikisinin kesişimini alalım ve 0'ı atalım.Çünkü sayımız dört basamaklıdır.
(A∩B)={3,4,6,9}
-> $3130$. $X$ $(mod 4)$ te 2. Tamkare olamaz.
-> $4140$. $X$ 10'un katı olmalı ve 10'un katı olan bir tamsayının karesi olamaz çünkü 60^2 ile 70^2 arasında. Tamkare olamaz
->$6160$. $X$ Tamkare olamaz. Çünkü $70^2$ ile $80^2$ arasında.
->$9190$. $X$ $(mod 4)$ te 2. Tamkare olamaz.
2-) $y=1$
=> $x$ -- $2$ -- $x$ -- $1$
$(mod 3)$'te C={0,3,6,9,2,5,8} olabilir.
$(mod 9)$'da D={2,3,5,8} olabilir.
Bu ikisinin kesişimini alalım.
(C∩D)={2,3,5,8}
->$2221$ $X$ $47^2$ ile $48^2$ arasında. Tamkare olamaz.
->$3231$ $X$ $(mod 4)$'te 3. Tamkare olamaz.
->$5251$ $X$ $(mod4)$'te 3. Tamkare olamaz.
->$8281$ 8281=$91^2$ dir ve tamkaredir. (1)
3-) $y=4$
=> $x$ -- $5$ -- $x$ -- $4$
$(mod 3)$'te E={0,3,6,9,2,5,8} olabilir.
$(mod 9)$'da F={0,2,5,8,9} olabilir.
Bu ikisinin kesişimini alalım ve 0'ı atalım.Çünkü sayımız dört basamaklıdır.
(E∩F)={2,5,8,9}
->$2524$ $X$ Tamkare olamaz. $50^2$ ye çok yakın ve $51^2$ den küçük.
->$5554$ $X$ $(mod4)$'te 2. Tamkare olamaz.
->$8584$ $X$ $92^2$ den büyükve $96^2$ den küçük. Tamkare olamaz.
->$9594$ $X$ $(mod4)$ te 2. Tamkare olamaz.
4-) $y=5$
=> $x$ -- $6$ -- $x$ -- $5$
$(mod 3)$'te G={1,4,7,2,5,8} olabilir.
$(mod 9)$'da H={1,4,7,8} olabilir.
Bu ikisinin kesişimini alalım.
(G∩H)={1,4,7,8}
->$1615$ $X$ $(mod 4)$'te 3. Tamkare olamaz.
->$4645$ $X$ $65^2$ ile $75^2$ arasında. Tamkare olamaz.
->$7675$ $X$ $(mod 4)$'te 3. Tamkare olamaz.
->$8685$ $X$ $90^2$ den büyük $95^2$ den küçük. Tamkare olamaz.
5-) $y=6$
=> $x$ -- $7$ -- $x$ -- $6$
$(mod 3)$'te K={0,3,6,9,1,4,7} olabilir.
$(mod 9)$'da L={0,3,6,7,9} olabilir.
Bu ikisinin kesişimini alalım ve 0'ı atalım.Çünkü sayımız dört basamaklıdır.
(K∩L)={3,6,7,9}
->$3736$ $X$ $61^2$ den büyük $62^2$ den küçük. Tamkare olamaz.
->$6766$ $X$ $(mod 4)$'te 2. Tamkare olamaz.
->$7776$ $X$ $86^2$ den büyük $90^2$ den küçük. Tamkare olamaz.
->$9796$ $X$ $96^2$ den büyük $99^2$ den küçük. Tamkare olamaz.
6-)$y=9$ için $y+1$ 10 tabanında bir rakam değildir.
Umarım gözümden kaçan birşey yoktur.
Sonuç olarak isteneni sağlayan istenen koşullarda tek bir dörr basamaklı sayı vardır (1) 8281 ve o da $91^2$ ye eşittir.
