2002 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 2 Soru 4

[matematikolimpiyati]

$a,b,p,q,r,s$ pozitif tam sayıları
$$qr-ps=1\quad \text{ve}\quad \dfrac{p}{q}<\dfrac{a}{b}<\dfrac{r}{s}$$
bağıntılarını sağlamaktadır. Bu durumda, $b \geq q+s$ eşitsizliğinin sağlanacağını gösteriniz.

[Metin Can Aydemir]

Verilen eşitsizlikten, $$\frac{p}{q}-\frac{a}{b}<0<\frac{r}{s}-\frac{a}{b}\implies \frac{pb-qa}{qb}<0<\frac{rb-as}{sb}\implies pb-qa<0<rb-as$$ $$\implies pb-qa\leq -1\quad\text{ve}\quad 1\leq rb-as$$ $$\implies qas-pbs\geq s\quad\text{ve}\quad rqb-qas\geq q\implies rqb-pbs\geq q+s$$ elde edilir. $rqb-pbs=b(qr-ps)=b$ olduğundan $b\geq q+s$ bulunur.