1998 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1-2 Soru 1

[matematikolimpiyati]

Dört ardışık doğal sayının çarpımının asla bir tamkare (yani başka bir doğal sayının karesi) olamayacağını kanıtlayınız.

[Metin Can Aydemir]

Öncelikle bu soruda doğal sayılardan kastının pozitif tamsayılar olduğunu varsıyorum çünkü $0\cdot 1\cdot 2\cdot 3=0^2$ sağlanır. Pozitif tamsayılar olarak alıp, soruya başlayalım. Aksini varsayalım ve $n\geq 1$ için $n(n+1)(n+2)(n+3)=m^2$ olacak şekilde $m,n$ pozitif tamsayılarının varlığını kabul edelim. Buradan $$n(n+3)(n+1)(n+2)=(n^2+3n)(n^2+3n+2)=(n^2+3n+1)^2-1=m^2$$ elde edilir. Aralarındaki farkın $1$ olduğu tek tamkare çifti $(0,1)$'dir. Ancak $m,n$ pozitif tamsayılar olduğundan bu mümkün değildir. Dört pozitif tamsayının çarpımı asla tamkare olamaz.