1997 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 2 Soru 5

[matematikolimpiyati]

$ABC$ üçgeni bir $d$ doğrusu tarafından eşit alanlı ve eşit çevreli iki parçaya ayrılıyor (şekilden izleyiniz). $d$ doğrusunun $ABC$ üçgeninin içteğet çemberinin merkezinden geçtiğini gösteriniz.

[geo]

$BAC$ açısının açıortayı $DE$ yi $F$ de kessin.
$F$ den $AB$, $AC$, $BC$ ye inilen yükseklikler sırasıyla $x,  x, y$ olsun.
Çevre eşitliğinden $AD+AE = BD+EC+BC$ olacaktır. Eşitliğin her iki tarafını $\frac x2$ ile çarparsak $$\begin{array}{rcl}
BD\cdot \dfrac x2 + CE\cdot \dfrac x2 + BC\cdot \dfrac x2 &=& AD \cdot \dfrac x2 + AE \cdot \dfrac x2 \\
& = & [ADE] \\
& = & [BDEC] \\
 &=&[BDF]+ [CEF]+ [BCF] \\
&=& BD\cdot \dfrac x2 + CE\cdot \dfrac x2 + BC\cdot \dfrac y2
\end{array}$$ $x=y$ elde edilir. Bu durumda $F$, $\triangle ABC$ in iç merkezidir.