2015 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 11

[matematikolimpiyati]

GANANGANA kabilesinin dilinin alfabesinde sadece $N,G$ ve $A$ harfleri vardır. Her kelimede çift sayıda (sıfır dahil) $A$ harfi bulunmakta ve tüm kelimeler $9$ harften oluşmaktadır. Buna göre$,$ bu kabilenin sözlüğünde en fazla kaç kelime olabilir?

$\textbf{a)}\ 8645  \qquad\textbf{b)}\ 9338  \qquad\textbf{c)}\ 9982  \qquad\textbf{d)}\ 8246  \qquad\textbf{e)}\ 9842$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Cevap E'dir.


Öncelikle 9 harflik kelimede kaç tane A harfi olduğuna bağlı olarak durumları ayri ayrı hesaplayıp toplayalım.

                          _ _ _ _ _ _ _ _ _

0 tane A olsun

  => Her boşluk ya N ya da G olabilir ve her biri için 2 seçenek vardır. Bu da 2⁹ eder.

2 tane A olsun

=> 9 boşluktan 2 tanesini seçip 2 adet olan A yı yerleştiririz ve AA ların kendi arasındaki permütasyonu 1 dir. Geri kalan 7 boşluk için ya N ya da G olmak üzere 2 seçenek vardır .
         = [9!/(7!.2!)].2⁷

4 tane A olsun

=> 9 boşluktan 4 tanesini seçip 4 adet olan A yı yerleştiririz ve AAAA ların kendi arasındaki permütasyonu 1 dir. Geri kalan 5 boşluk için ya N ya da G olmak üzere 2 seçenek vardır .
         = [9!/(5!.4!)].2⁵

6 tane A olsun

=> 9 boşluktan 6 tanesini seçip 6 adet olan A yı yerleştiririz ve AAAAAA ların kendi arasındaki permütasyonu 1 dir. Geri kalan 3 boşluk için ya N ya da G olmak üzere 2 seçenek vardır .
         = [9!/(6!.3!)].2³

8 tane A olsun

=> 9 boşluktan 8 tanesini seçip 8 adet olan A yı yerleştiririz ve AAAAAAAA ların kendi arasındaki permütasyonu 1 dir. Geri kalan 1 boşluk için ya N ya da G olmak üzere 2 seçenek vardır .
         = [9!/(8!.1!)].2¹


Bunların toplamı :
   2⁹+ [9!/(7!.2!)].2⁷+[9!/(5!.4!)].2⁵+ [9!/(6!.3!)].2³+[9!/(8!.1!)].2¹ = 9842 dir.

  Cevabımız 9842'dir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{E}$.

Benzer sorular için bkz: 2022 Antalya ve 2024 Antalya. Bu sorularda indirgemeli dizi yöntemleriyle çözüm sayısının $n$  hane için $\dfrac{3^n+1}{2}$  olduğu gösterilmişti (örneğin 2024 sorusunda $A,N,G$  sırasıyla $a,b,c$  alınırsa sorunun benzeri elde edilir.) Dolayısıyla bu kabilenin sözlüğünde $\dfrac{1}{2}(3^9+1)=9842$  kelime bulunur.