Tübitak Lise 1. Aşama 1996 Soru 03

[alpercay]

$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$  denkleminin iki kökü $u\ne 0$  olmak üzere, $x=u$  ve $x=-u$  ise, katsayılar arasında aşağıdaki bağıntılardan hangisi her zaman doğrudur?


$\textbf{a)}\ c^2-abc+a^2d=0 \qquad\textbf{b)}\ a+b+c+d=0 \qquad\textbf{c)}\ a^2+b^2=c^2+d^2 \qquad\textbf{d)}\ ab\gt cd \qquad\textbf{e)}\ ad=bc$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$
Verilen denklemde $x = u$ ve $x = -u$ köklerini yazarsak
$$ \left. \begin{split} u^4 +au^3 + bu^2 + cu + d & = 0 \\  u^4 - au^3 + bu^2 - cu + d & = 0 \end{split} \right\} $$
olur. Bu denklemleri taraf tarafa toplayarak ve çıkararak:
$$ \left. \begin{split} u^4 + bu^2 + d & = 0 \\  au^2 +  c & = 0 \end{split} \right\} $$
elde ederiz. İkinci denklemden $u^2=-\dfrac{c}{a}$ olup birinci denklemde yazarsak $c^2 - abc  +a^2d = 0$ sonucuna ulaşırız.


Not: Burada $u\neq 0$ verildiğinden $u^2=-\dfrac{c}{a} \neq 0$ olup $c \neq 0$ dır. Ayrıca $u^2$ nin tanımlı olması için $a\neq 0$ olması gerektiğini de anlarız.