Klasik bir sorunun farklı hali

[geo]

$ABC$ eşkenar üçgen ve $P$ aynı düzlemde bir nokta olsun. $AP=1$, $BP=2$ ve  $CP=3$ ise $A(ABC)$ kaçtır?

[Lokman Gökçe]

Çözüm: Eğer $P$ noktası $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde olarak düşünülürse, klasik rotasyon dönüşümü (örneğin $APB$ üçgeninin $B$ noktası etrafında negatif yönde $60^\circ$ döndürülmesi) uygulanırsa bu türlü bir çizimin yapılamayacağını anlarız. Yine $P$ noktası üçgenin kenarları üzerinde de olamaz, benzer şekilde çelişkili durumlar oluşur.

O halde $P$ noktasını $ABC$ üçgeninin dış bölgesinde alalım. $APBC$ nin dış bükey bir dörtgen biçiminde olması gerektiğini hissedebiliriz (bkz aşağıdaki şekil).

Öte yandan Ptolemy eşitsizliğinde eşitlik durumu da sağlandığından, çünkü $|PC| = |PA| + |PB|$ dir; $APBC$ nin bir kirişler dörtgeni olduğunu anlarız. $\angle APB = 120^\circ $ olur. Kosinüs teoreminden $|AB|^2 = 1^2 + 2^2 - 2\cdot 1\cdot 2 \cdot \cos 120^\circ = 7$ dir. $Alan(ABC) = \dfrac{|AB|^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{7\sqrt{3}}{4}$ elde edilir.


 

[geo]

$A, C, B, P$ noktaları için Ptolemy eşitsizliği yazılırsa $AC \cdot BP + AP\cdot CB \geq AB \cdot CP$ yani $2a + a \geq 3a$ elde edilir. Eşitlik için $ACBP$ nin kirişler dörtgeni olması gerekir.

Ptolemy Eşitsizliği'nin farklı ispatları için:
https://ckrao.wordpress.com/2015/05/24/a-collection-of-proofs-of-ptolemys-theorem/