taban aritmetiği {Çözüldü}

[edizalturk]

Bu soru eski pi yayınları soru bankasındaydı. Sorunun öss ile alakası olmadığı için (öyle zannediyorum), yani biraz fantezi olduğu için buraya atmayı uygun gördüm. Deneme yanılma ile çözüm bulunabiliyor ama daha güzel bi çözüm var mı acaba diye merak ediyorum.

[senior]

Arama tekniğini biraz akıllıca yaparsak sonuca çok da zor ulaşılmıyor aslında. Mesela, n > m > 7 ve m ne olursa olsun eşitliğin sol tarafı tek sayı olacağından n tek olmalı.
m = 8 için sol taraf 239 oluyor, sağ tarafa en az 9 verebiliriz ama 11 bile versek toplama işlemini yapmadan bile n² + 8n = 121 + 88 < 239 sonucunu çıkarabiliriz. Yani n = 13 ile başlamalıyız. O da 169 + 8*13 = 169 + 104 = 273. Şimdi m'i artırmak lazım. m'i 1 artırırsak sol taraf (3(m+1)²+5(m+1)+7)-(3m²+5m+7) = 3(2n+1) + 5 = 6n+8 kadar değişir. Yani m=8+1 olduğunda sol taraf 239 +2*(3*8+4) =  239 + 56 = 295 olur. sağ taraf 273'tü o zaman n'i 2 artırmak lazım. n 2 artarsa eşitliğin sağ tarafı ((n+2)²+8(n+2)) - (n²+8n) = 4n + 20 = 4(n+5) kadar artar! Yani n=13'ten 15'e çıkarsa sağ taraf 273 + 4(13+5) = 273+72=345 olur. Böyle devam edilirse 2-3 işlemden sonra m = 11 ve n = 17 için çözüm bulunur ama soru temelde eksik çünkü (166,285) ve (2323,4021) ikilileri de birer çözüm.