2008 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 13

[matematikolimpiyati]

$(x+x^2+x^3)+\left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x^3} \right)=28$ eşitliğini sağlayan $x$ reel sayısı için $(2x-3)^2$ aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 6$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

$x + \dfrac{1}{x} = y$ diyelim. Bu durumda, $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = y^2 - 2$ ve $x^3 + \dfrac{1}{x^3} = y^3 - 3y$ olur. Bu ifadeleri $(x+x^2+x^3)+\left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x^3} \right)=28$ denkleminde yazalım. $y^3 - 3y + y^2 - 2 + y = 28$ olup

$$ y^3 +y^2 -2y -30 = 0 $$

kübik denklemini elde ederiz. $y = 3$ için bu denklemin sağlandığı görülebilir. Polinom bölmesi ile bu denklemi $(y - 3)(y^2 + 4y + 10) = 0$ şeklinde yazabiliriz. $y^2 + 4y + 10 = 0$ denkleminin gerçel kökü yoktur. O halde yalnızca $y=3$ mümkündür. $x + \dfrac{1}{x} = 3$ eşitliğinden $x^2 - 3x = -1$ yazılır. $(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9 = 4(x^2 - 3x) + 9 = 4(-1) + 9 = 5$ bulunur.