2003 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 15

[matematikolimpiyati]

$a_1=1$ ve $p$  bir asal sayı olmak üzere$,$ her $n \geq 2$ için $a_n$ dizisi $a_n=a_{n-1}+p^{n-1}$ şeklinde tanımlansın. $a_{2003}-a_{1998}$ sayısının bir tam kare olması için $p$ kaç olmalıdır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 11$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$n=2003,2002,2001,2000,1999$ yazıp taraf tarafa toplarsak, $$a_{2003}-a_{1998}=p^{2002}+p^{2001}+p^{2000}+p^{1999}+p^{1998}$$ $$=p^{1998}(1+p+p^2+p^3+p^4)$$ elde edilir. $p^{1998}$ zaten tamkare olduğundan $1+p+p^2+p^3+p^4$ de tamkare olmalıdır. $p\geq 2$ olduğundan $p^3> p+1$ olacaktır ve $$(p^2+p)^2> p^4+p^3+p^2+p+1$$ bulunur. Dolayısıyla, öyle bir $p^2+p>k\geq 1$ tamsayısı vardır ki $$(p^2+p-k)^2= p^4+p^3+p^2+p+1\implies p^3-2kp^2-(2k+1)p+(k^2-1)=0\implies p\mid k^2-1$$ $$\implies p\mid k-1\text{  veya  }p\mid k+1$$ olacaktır. $k=1$ ise $p^3-2p^2-3p=0$, yani $p=3$ bulunur. Gerçekten de $p=3$ için $1+3+3^2+3^3+3^4=11^2$ olacaktır.

$k\geq 2$ ise $p\leq k+1$, yani $p^2+p-k\leq p^2+1$ olacaktır. Dolayısıyla, $$(p^2+1)^2\geq (p^2+p-k)^2=p^4+p^3+p^2+p+1$$ $$\implies 0\geq p^3-p^2+p\implies 0\geq p^2-p+1$$ bulunur fakat $p^2-p+1>0$ olduğundan çelişki elde edilir. Tek çözüm $p=3$ için bulunur.