Tübitak Ortaokul 2. Aşama 1998 Soru 2

[matematikolimpiyati]

$3$ X $3$ bir satranç tahtasına $1$ den $9$ a kadar olan tam sayılar, her kareye bir sayı gelecek biçimde yerleştiriliyor. Her sütun için o sütunda yer alan sayıların en küçüğünü alarak bulduğumuz üç sayının en büyüğüne $a$ diyelim. Her satır için ise, o satırda yer alan sayıların en büyüğünü alarak elde ettiğimiz üç sayının en küçüğüne $b$ diyelim. Sayıları tahtaya $a=b=4$ olacak şekilde en fazla kaç farklı biçimde yerleştirebiliriz?

[geo]

$4$ ün bulunduğu satırdaki en büyük sayı $4$ olmalı. Yani diğer iki sayı $a,b \in \{1,2,3\}$ olmalı.
$4$ ün bulunduğu sütundaki en küçük sayı $4$ olmalı. Yani diğer iki sayı $c,d \in \{5,6,7,8,9\}$ olmalı.
Diğer $4$ sayı da $a,b,c,d,4$ sayıları hariç diğer sayıların bir sıralanışıdır.
Bu şekilde herhangi bir dağılım $4$ ün; satırların en büyük elemanlarının en küçüğü, sütunların en küçük elemanlarının en büyüğü olmasını sağlar.
($c,d > 4$ olduğu için diğer iki satırın en büyük iki elamanı en az $c$ ve $d$ kadardır. Dolayısıyla $4$ bunlardan en küçüğüdür.
Benzer şekilde $a,b < 4$ olduğu için diğer iki sütunun en küçük elemanları en çok $a$ ve $b$ kadar olacaktır. Dolayısıyla $4$ bunlardan en büyüğüdür.)

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline 4 & a & b \\
\hline c & & \\
\hline d & & \\
\hline
\end{array}$$

Toplamda, $P(9, 1) \cdot P(3,2) \cdot P(5,2) \cdot P(4,4) = 9 \cdot (3\cdot 2) \cdot (5 \cdot 4) \cdot 4! = 9 \cdot 4 \cdot 6! = 9 \cdot 4 \cdot 720 = 9 \cdot 2880 = 25920$ dağılım elde edilir.