Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 09

[Metin Can Aydemir]

Bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesinden ve $[BC]$ kenarının orta noktasından geçen doğru $ABC$ üçgeninin çevrel çemberini ikinci kez $D$ noktasında kesmektedir. $|AB|=15$, $|BC|=24$ ve $m (\widehat{ABC})=2\cdot m(\widehat{BCD})$ ise, $|DC|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 9
\qquad\textbf{b)}\ 10
\qquad\textbf{c)}\ 12
\qquad\textbf{d)}\ 14
\qquad\textbf{e)}\ 15
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap:$\boxed{B}$

$AB$ kenarını uzatıp $B$ tarafında $|BE|=12$ olacak şekilde bir nokta seçelim. Açıları yazarsak ekteki gibi olur. $EBM$ ve $AME$ benzerdir. Benzerlikten $\dfrac{|EM|}{|AE|}=\dfrac{|EB|}{|AM|}$ olur, buradan $|MA|=18$ elde edilir. $ABM$ ile $CDM$ benzer olduğundan $$\dfrac{|CD|}{|AB|}=\dfrac{|MC|}{|MA|}\Rightarrow \dfrac{|CD|}{15}=\dfrac{12}{18}\Rightarrow |CD|=10$$ bulunur.

[DrLucky]

Cevap:$\boxed{B}$

$AB$ kenarını uzatıp $B$ tarafında $|BE|=12$ olacak şekilde bir nokta seçelim. Açıları yazarsak ekteki gibi olur. $EBM$ ve $AME$ benzerdir. Benzerlikten $\dfrac{|EM|}{|AE|}=\dfrac{|EB|}{|AM|}$ olur, buradan $|MA|=18$ elde edilir. $ABM$ ile $CDM$ benzer olduğundan $$\dfrac{|CD|}{|AB|}=\dfrac{|MC|}{|MA|}\Rightarrow \dfrac{|CD|}{15}=\dfrac{12}{18}\Rightarrow |CD|=10$$ bulunur.

Çözüm için teşekkürler. Açı yazma kısmında EBM üçgenindeki taban açıların alfa olduğunu nereden bulduk?

[Metin Can Aydemir]

Çözüm için teşekkürler. Açı yazma kısmında EBM üçgenindeki taban açıların alfa olduğunu nereden bulduk?

$|EB|=12$ olacak şekilde seçmemizin sebebi, $EBM$ üçgeninin ikizkenar olmasını istememiz. Dış açı $m(\widehat{ABM})=2\alpha$ ve üçgen ikizkenar olduğu için $\alpha$ oluyor.

[DrLucky]

Çözüm için teşekkürler. Açı yazma kısmında EBM üçgenindeki taban açıların alfa olduğunu nereden bulduk?

$|EB|=12$ olacak şekilde seçmemizin sebebi, $EBM$ üçgeninin ikizkenar olmasını istememiz. Dış açı $m(\widehat{ABM})=2\alpha$ ve üçgen ikizkenar olduğu için $\alpha$ oluyor.

Ah doğru. Gözümden kaçmış, sağ olun.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{B}$.

$B$  noktasından geçip $CD$ 'ye paralel olan doğru $AM$  yi $F$  de kessin. $BF$  doğrusu $\angle ABM$  nin açıortayıdır. $AF=5p$  ve $FM=4p$  diyelim. $FM=MD$  olduğundan $AM=9p$  ve $MD=4p$  dir. $M$  noktasında kuvvetten $36p^2=144\Longleftrightarrow p=2$  bulunur. Dolayısıyla $AB/CD=15/CD=BM/MD=12/8$ olduğundan $CD=10$  dur.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{B}$

$P$ noktası $BC$  nin orta noktası olsun. $[AB]$  kenarı üzerinde $EP=12$  olacak şekilde bir $P$  noktası alınsın. $AE=EP=BP=12$  ve $BE=3$  olacaktır. Stewart ile $AP=18$  elde edilir. $AB:AP=CD:CP$  olduğundan $CD=10$  bulunur.