Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 12

[Uygar ÖZTÜRK]

Her pozitif tam sayı $k$ renkten birine, farkları veya oranları $2$ olan herhangi iki sayı farklı renkte olacak şekilde boyanabiliyorsa, $k$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 8$

[Uygar ÖZTÜRK]

Yanıt: $\boxed{A}$

Sayı doğrusu üzerinde herhangi iki ardışık tek ve çift sayılar farklı renge boyanacaktır. Burada sorun çıkaranlar çift sayılar çünkü hem $2$ eksikleri hem de yarıları da boyanıyor, bunlar farklı renkte olabilir. $\{a, 2a-2, 2a\}$ şeklinde kümeler oluşturalım. Bu kümede elemanların hepsinin farklı renkte olduğu durumlar olabilir. Öte yandan bu kümenin herhangi iki elemanı başka bir kümede beraber olamaz, Dolayısıyla toplam en az $3$ renk kullanılmalıdır. Öneğin indisler kullanılan rengi belirtmek üzere:

$(1_1,2_2,3_2,4_1,5_1,6_3,7_2,8_2,\cdots)$ burada stratejimiz her bir sayının indisini mümkün olan en küçük sayıda tutmaktır.     

[DrLucky]

Cevap için teşekkürler. Bir kümenin iki elemanının başka bir kümede beraber olmaması en az 3 renk gerektiğini nasıl ispatlıyor? O kısmı tam anlayamadım.

[llqrth]

Bir de ben izah edeyim: Tek renk kullanamayacağımız malum. $a>0, b>0$ için $2$ renk ile denersek, $a$ ve $b$ farklı renkte olmak üzere, genelliği kaybetmeden $2a=b+2=c$ şeklinde sonsuz sayıda $c$ değeri olduğundan en az $3$ renk kullanmalıyız. Eğer $3$ renk yetmiyorsa $4$ farklı durum söz konusu olabilir:
$2a+2=2b+4=c+2$
$2a+2=2b+4=2c$ 
$4a=b+4=c+2$ 
$4a=b+4=2c$
Bu eşitliklerden hiçbirini sağlayan bir $a,b,c$ üçlüsü bulunmadığından $4.$ bir renge ihtiyaç duymayız.   

[DrLucky]

Hala tam anlayamadım, yine de teşekkür ederim