Kuvvet serisinde tam kare katsayılar {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

$$\dfrac{1}{1-x-x^2-x^3}=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$$ verilsin. Buna göre $a_n = (n+1)^2$ eşitliğini sağlayan tüm $n$ negatif olmayan tam sayılarını bulunuz.

[Lokman Gökçe]

$|r|<1$ iken $\dfrac{1}{1-r}=1+r+r^2+r^3+\cdots $ sonsuz geometrik seri toplamını biliyoruz. Buna göre

$\dfrac{1}{1-(x+x^2+x^3)}=1+(x+x^2+x^3)+(x+x^2+x^3)^2+(x+x^2+x^3)^3+(x+x^2+x^3)^4+\cdots $ yazılabilir. Kaba kuvvet hesaplama ile ilk terimler bulunabilir:

$$\dfrac{1}{1-(x+x^2+x^3)}=1+x+2x^2 + 4x^3+7x^4+13x^5+24x^6+44x^7+81x^8+149x^9+274x^{10}+\cdots $$

olup $n=0$ ve $n=8$ doğal sayı değerleri için $a_n = (n+1)^2$ eşitliği sağlanır. $n\geq 9$ için $a_n$ daha hızlı büyüdüğünden $a_n > (n+1)^2$ olur.

Daha farklı bir yaklaşımı olanlar çözüm kısmına ekleyebilirler. Teşekkürler...

[Lokman Gökçe]

Doğrusal indirgemeli diziler ve bunların üretici fonksiyonları ile ilgili teoriyi kullanacağız:

Teorem:  $Q(x)$, $k=derQ>0$ biçiminde bir polinom olsun. Bu durumda $$ \dfrac{1}{Q(x)}= a_0 + a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots $$ üretici fonksiyonu yardımıyla tanımlı $(a_n)$ doğrusal indirgemeli dizisinin karakteristik polinomu $$ x^kQ \left(\dfrac{1}{x}\right) $$ biçimindedir.

Bu teoremi kullanarak daha genel ifadeler elde edebiliriz. $P(x)$, $Q(x)$ iki polinom fonksiyon, $k=derQ>derP$ olsun. Bu durumda $$ \dfrac{P(x)}{Q(x)}= a_0 + a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots $$ üretici fonksiyonu yardımıyla tanımlı $(a_n)$ doğrusal indirgemeli dizisinin karakteristik polinomunu da bulabiliriz.


Buna göre, $\dfrac{1}{1-x-x^2-x^3}$ için $Q(x)=1-x-x^2-x^3$ olup $(a_n)$ dizisinin karakteristik polinomu  $$x^3Q \left(\dfrac{1}{x}\right)= x^3-x^2-x-1 \tag{1}$$ olur. Dolayısıyla $n\geq 0$ için $$a_{n+3}=a_{n+2}+a_{n+1}+a_{n} \tag{2}$$ bağıntısı elde edilir. Tek ihtiyacımız olan dizinin ilk üç terimidir. $a_0=1, a_1=1, a_2=2$ olduğunu yukarıda verdiğimiz geometrik seri açılımından elde edebiliyoruz. Çok fazla üç terimliyi açmamıza gerek yoktur elbette:

$\dfrac{1}{1-(x+x^2+x^3)}=1+(x+x^2+x^3)+(x+x^2+x^3)^2+\cdots = 1+x+2x^2+\cdots $ bizim için yeterli olacaktır. Böylece $a_3=a_2+a_1+a_0 = 2+1+1=4$ olur. Diğer terimleri de $(2)$ indirgeme bağıntısından kolayca hesaplanabilir. Buradan

$$(a_n)=(1,1,2,4,7,13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, \dots ) \tag{3}$$

olur. Bu listeye göre $n\geq 9$ için $a_n> (n+1)^2$ dir. $0\leq n\leq 8$ için $a_n = (n+1)^2$ olan doğal sayı değerleri $n=0$ ve $n=8$ olarak elde edilir.


Notlar: Teoremin sunulduğu ve ispatlandığı kaynak burada Coursera sitesinden Evgeny Smirnov hocanın ders videolarıdır. Fakat teoremin yazılışında ufak bir sorun olmuştur. Karakteristik polinomun $Q(x)$ olduğu yazılmıştır. Geçen yıl dersleri takip ederken hatayı şurada bildirdim. Bu kursun öğretim sorumlusu Yulia Kotelnikova da itirazımın haklı olduğunu ifade etmişti. Yani karakteristik polinom, yukarıdaki teoremde ifade ettiğim gibidir.( Başka kaynaklar da kontrol edilebilir.) Teoriyle ilgili daha fazla bilgi için Evgeny Smirnov'un Enumerative Combinatorics ders videoları takip edilebilir.

[Eray]

Soruyu biraz değiştirerek "$a_n$ nin tamkare olduğu tüm $n$ negatif olmayan tam sayılarını bulunuz" şeklinde sorabilir miyiz?

[Lokman Gökçe]

Sorabiliriz ama çözebilir miyiz pek emin değilim  Fibonacci dizisinde de sonsuz çoklukta tam kare terim vardır. $(2)$ ile verilen dizide de böyle bir durum oluşabilir mi? İspat yöntemi Fibonacci dizisindekiyle benzer olarak kullanılabilir mi? İşe yarar mı diye bunu düşünebiliriz. Sağlam bir soru oldu.