$x^3 - 3 x^2 + 6 x + 1$ polinomu

[Metin Can Aydemir]

$P(x)=x^3-3x^2+6x+1$ polinomu için

(a) Bu polinomun tek reel kökü olduğunu gösterin.
(b) Reel olan kökünü bulunuz.

[Metin Can Aydemir]

$(a)$ $x^2$'li terimi yok etmek için $Q(x)=P(x+1)=x^3+3x+5$ polinomunu inceleyelim. Eğer $P$'nin her kökü $r$ için $r-1$ de $Q$'nun kökü olacağından kök sayıları eşittir. Dolayısıyla $Q$'nun $1$ kökü olduğunu göstermeliyiz. Üçüncü dereceden olduğundan en az bir kökü vardır. $Q$'nun lokal ekstremumlarına bakalım. $$Q'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$$ olduğundan $x=\pm 1$'de lokal eksteremum vardır. $Q(1)=9>0$ ve $Q(-1)=1>0$ olduğundan (işaretleri aynı olduğundan), Rolle teoreminden $Q$'nun tek reel kökü olmalıdır. Dolayısıyla $P$'nin de tek reel kökü vardır.

$(b)$ $Q(x)=P(x+1)=x^3+3x+5$ polinomunun kökünü bulalım. Bunun için $t=a-\frac{1}{a}$ şeklinde bir $t$ için $$t^3=a^3-3a+\frac{3}{a}-\frac{1}{a^3}=a^3-\frac{1}{a^3}-3t\implies t^3+3t-\left(a^3-\frac{1}{a^3}\right)=0$$ olur. Yani $a^3-\frac{1}{a^3}=-5$ olan bir $a$ varsa $x=a-\frac{1}{a}$, $Q$ polinomunun kökü olacaktır. $$a^3-\frac{1}{a^3}=-5\implies a^6+5a^3-1=0\implies a^3=\frac{-5\pm \sqrt{29}}{2}\implies a=\sqrt[3]{\frac{-5\pm \sqrt{29}}{2}}$$ olacaktır. Eşlenikten olduğundan dolayı iki $a$ değeri de aynı kökü verecektir. Bu yüzden $a=\sqrt[3]{\frac{-5+ \sqrt{29}}{2}}$ alabiliriz. Eşleniği $\frac{1}{a}=\sqrt[3]{\frac{5+\sqrt{29}}{2}}$ olacaktır. Buradan $Q$'nun tek kökü $$x=\sqrt[3]{\frac{-5+ \sqrt{29}}{2}}-\sqrt[3]{\frac{5+\sqrt{29}}{2}}$$ olacaktır. $Q$'nun her $r$ kökü için $r+1$ de $P$'nin kökü olduğundan $P$'nin tek kökü $$\boxed{x=\sqrt[3]{\frac{-5+ \sqrt{29}}{2}}-\sqrt[3]{\frac{5+\sqrt{29}}{2}}+1}$$ olacaktır.

[geo]

Biraz düzenlemeyle $P(x)=(x-1)^3+3x+2$.
$y=(x-1)^3$ ile $y=-3x-2$ fonksiyonlarının grafiklerini çizersek tek gerçel çözüm olduğunu görebiliriz.

Bu aşamadan sonra Metin Can Aydemir'in çözümünü Wikipedia'daki Kübik Denklemlerin genel çözümünün anlatıldığı makaledeki adımları izleyerek tekrarlayacağım.

Vieta'nın Değişken Değiştirme metodunu uygulamak için polinomu $x^3+px+q$ formuna (ing. depressed form) dönüştürmek gerekiyor.
$x\rightarrow x+1$ şeklinde bir dönüşümün polinomu baskılanmış (depressed) forma dönüştürdüğü aşikar.
Wikipediadaki yönteme göre $ax^3+bx^2+cx+d$ şeklindeki bir polinom $x\rightarrow x-\dfrac {b}{3a}$ dönüşümü ile baskılanmış forma dönüştürülür. Bu bizim sorumuzda $\boxed{x\rightarrow x+1}$ dönüşümüne denk oluyor. $P(x+1)= x^3+3x+5$.

Vieta'nın Değişken Değiştirme metoduna göre $x^3+px+q$ polinomunda $x\rightarrow x-\dfrac{p}{3x}$ şeklinde değişken değiştirmemiz gerekiyor. Bizim sorumuzda $\boxed{x\rightarrow x - \dfrac 1x}$ dönüşümü ile $P(x-\frac 1x+1)=\left (x-\dfrac 1x \right )^3+3\left (x-\dfrac 1x \right )+5=x^3-\dfrac 1{x^3}+5$ elde ederiz.
Son bir kez $\boxed{x\rightarrow \sqrt[3]{x}}$ dönüşümü yaparsak $P(\sqrt[3]{x}-\frac 1{\sqrt[3]{x}}+1)=x-\dfrac 1x + 5 = 0$ elde ederiz.
$x^2+5x-1=0$ denkleminin çözümleri $x_{1,2}=\dfrac {-5\pm \sqrt{29}}{2}$ dir.
O halde aradığımız değer $P(\sqrt[3]{x}-\frac 1{\sqrt[3]{x}}+1) = P\left (\sqrt[3]{\frac {-5\pm \sqrt{29}}{2}}-\frac 1{\sqrt[3]{\frac {-5\pm \sqrt{29}}{2}}}+1\right )=0$ dir.
$x_1x_2=-1$ olduğu için de Metin Can Aydemir'in anlattığı gibi paydayı eşlenikle çarparsak $ P\left (\sqrt[3]{\frac {-5\pm \sqrt{29}}{2}}+\sqrt[3]{\frac {-5\mp \sqrt{29}}{2}}+1\right ) = P\left (\sqrt[3]{\frac {-5+ \sqrt{29}}{2}}+\sqrt[3]{\frac {-5- \sqrt{29}}{2}}+1\right )=0$ elde ederiz.