Tübitak Lise 1. Aşama 1994 Soru 07

[Lokman Gökçe]

$ \lfloor x^2 +8x \rfloor  \leq A $ eşitsizliğinin, tam sayılar kümesi içinde tam olarak $13$ tane çözümü olması için $A$ nın alabileceği en küçük değer nedir?

$ \textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ 19 \qquad\textbf{d)}\ 20 \qquad\textbf{e)}\ 30 $

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Tam sayılar kümesinde incelediğimiz için $x^2+8x$ ifadesi de tam sayıdır. Dolayısıyla $\lfloor x^2 +8x \rfloor=x^2+8x$ olur. $$f(x)=x^2+8x-A\leq 0$$ $f$ fonksiyonunun negatif veya sıfır olması için $x$ değeri iki kökün arasında veya eşit olması lazım. $13$ tamsayı değeri olması için köklerin farkı en az $12$ olması gerekir. $$|x_1-x_2|=\sqrt{\Delta}=\sqrt{64+4A}\geq 12 \Rightarrow A\geq 20$$ Şimdi $A=20$ için sağlayıp sağlamadığına bakalım. $A=20$ için $$x^2+8x-20=(x+10)(x-2)\leq 0$$ $x$ değerleri, $x=-10,-9,...,1,2$ olur ve $13$ değer vardır.