Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 22

[AtakanCİCEK]

$m$ ve $n$ tam sayılar olmak üzere, $(m+n^2)(m+1)=4mn$ eşitliği sağlanıyorsa $m+n$ ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır ?
$\textbf{a)}\ -2 \qquad\textbf{b)}\ -1  \qquad\textbf{c)}\ 0 \qquad\textbf{d)}\ 1 \qquad\textbf{e)}\ 2$

[AtakanCİCEK]

Yanıt:$\boxed{A}$

$(m+n^2)(m+1)=4mn$ ifadesini açıp $4mn$ yi sol tarafa atarsak
$m^2-2mn+n^2+n^2m+m-2mn=0$ şeklinde yazalım.
ifadeleri tam karelere tamamlarsak $(m-n)^2+m.(n-1)^2=0$ elde edilir. Aşağıdaki adımları takip edelim.
 $(m-n)^2=-m.(n-1)^2$
 $-m=k$ diyelim;
 $(k+n)^2=k.(n-1)^2$ Kareköke alalım.
$k+n=(n-1).\sqrt{k}$ ,$k=a^2$ dönüşümü yapalım.
$a^2+n=an-a$
$a^2+a=n.(a-1)$
$n=\frac{a^2+a}{a-1}$ ifadesini polinom bölmesi ile $a+2+\frac{2}{a-1}$ şeklinde yazalım.
$a-1=2$,$a-1=1$,$a-1=-1$,$a-1=-2$ olabileceğinden ve $ m=-a^2$ oldugundan
$i)$ $a=2$ ise $m=-4$,$n=6$ elde edilir.
$ii)$ $a=3$ ise $m=-9$,$n=6$ elde edilir.
$iii)$ $a=0$ ise $m=0$,$n=0$ elde edilir.
$iv)$ $a=-1$ ise $m=-1$,$n=0$ elde edilir.
olabilecek $m+n$ değerlerinin toplamı $2-3+0-1=-2$ elde edilir.