Tübitak Lise 1.Aşama 2017 Soru 26

[Dogukan6336]

$f(x) = x^3 - 12x^2 + Ax + B$  , gerçel sayılarda tanımlı artan bir fonksiyon olsun. $ f\circ f\circ f (3) = 3$ ve $ f\circ f\circ f\circ f(4) = 4$ ise $f(7)$ kaçtır ?

$\textbf{a)}\ 7  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad \textbf{c)}\ 31  \qquad \textbf{d)}\ 38  \qquad\textbf{e)}\ 42$

[Dogukan6336]

Cevap : $\boxed C$

$f\circ f\circ f(3)=3$ olduğundan, $f(3)>3$ durumu zaten mümkün değildir. $f$ artan olduğundan $f\circ f\circ f(3)>3$ olacaktır. Aynı şekilde $f(3)<3$ olduğunu farz edelim. Bu durumda $f\circ f\circ f(3)<3$ olacaktır. O halde tek çözüm, $f(3)=3$ ve $f(4)=4$ durumudur. Bu değerleri yerine yazarsak , $A = 48$ ve $B=-60$ bulunur. O halde fonksiyonumuz

$f(x) = x^3 - 12x^2 + 48x - 60$

olacaktır. $f(7) = 31$ olur.