Tübitak Lise 1. Aşama 1993 Soru 19

[alpercay]

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{2x-1} \ge 1$  eşitsizliğinin reel sayılardaki çözüm kümesi ayrık aralıkların birleşimi olarak yazıldığında, bu aralıkların uzunlukları toplamı ne olur?

$\textbf{a)}\ \text{Sonsuz} \qquad\textbf{b)}\dfrac{\sqrt{17}}{4} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{\sqrt{17}}{2} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac92 \qquad\textbf{e)}\ 2$

[alpercay]

Yanıt: $\boxed{E}$

Eşitsizlik düzenlenirse $\dfrac{-2x^2+5x-1}{x(2x-1)}\ge 0$ elde olunur. Pay ve paydanın kökleri sırasıyla $ \left\{\dfrac{5-\sqrt{17}}{4},  \dfrac{5+\sqrt{17}}{4},0,\dfrac12 \right\}$ kümesinin elemanlarıdır. Eşitsizlik tablosu kolayca yapılarak çözüm kümesinin ayrık aralıkları  $Ç_1=\left(0,\dfrac{5-\sqrt{17}}{4}\right]$, $Ç_2=\left(\dfrac12,\dfrac{5+\sqrt{17}}{4}\right]$ olup bu aralıkların boyları toplamı $2$ olarak bulunur.