Bir açısı 60 olan üçgende izogonal eşlenik gösterimi {çözüldü}

[MATSEVER 27]

$m(\widehat{B})=60^\circ$ olan bir $ABC$ üçgeninde çevrel merkez $O$, $N$ noktası ise $[AC]$ üzerinde olmak üzere $BN$ açıortaydır. $BON$ üçgeninin çevrel çemberi $ABC$ üçgeninin çevrel çemberini $B$ den farklı bir $D$ noktasında kesiyor. Buna göre $BD$ nin $AC$ doğrusuyla dik olarak kesiştiğini gösteriniz.

                                                                                                                                                                                                                         

[ERhan ERdoğan]

$[BN$ nın çevrel çemberi kestiği nokta $E$ olsun. $\angle{ABE}=30^\circ$ olduğundan $\angle{AOE}=60^\circ$ olup $AOE$ eşkenar üçgedir. $\angle{EAC}=\angle{EBC}=30^\circ$ olduğundan $AC \perp OE$ olur. $OBDN$ kirişler dörtgeni olduğundan $\angle{NBD}=\angle{NOD}$ ve çevre açı, merkez açı ilişkisinden $\angle{EOD}=2\angle{EBD}$ olduğundan $\angle{NOE}=\angle{NOD}$ dir. $OAEN$ bir deltoid ve $|ON|=|NE|$ olduğundan $\angle{EON}=\angle{OEN}$ olur. Bunlara göre, $\angle{OEB}=\angle{DBE}$  dir. Yani  $OE \parallel BD$ dolayısıyla $BD \perp AC$ dir.