EŞİTSİZLİK $92$

[MATSEVER 27]

$xyz=1$ eşitliğini sağlayan tüm $x,y,z$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\dfrac{x(x+y)}{1+x^2y}+\dfrac{y(y+z)}{1+y^2z}+\dfrac{z(z+x)}{1+z^2x}\geq 3$$
eşitsizliği ve;
$$\dfrac{1}{4} \geq \dfrac{1}{x^2+11yz}+\dfrac{1}{y^2+11xz}+\dfrac{1}{z^2+11xy}$$
eşitsizliğinin sağlandığını gösteriniz.

[ArtOfMathSolving]

1. Madde için ;

İfademizi $\sum \dfrac{x+y}{y(x+z)}$ şeklinde düzenleyelim ve $x+y=a$,$x+z=b$,$y+z=c$ diyelim. Şimdi genelliği bozmadan $x\ge y\ge z$ kabul edersek, $a\ge b\ge c$ olur.

$A.G.O'dan$ $x+y+z\ge 3, xy+yz+xz\ge 3$ elde edelim.Göstermemiz gereken şey $\sum \dfrac{1}{y}.\dfrac{a}{b}\ge 3$ ise, Çebişevden

$\dfrac{(\sum \dfrac{1}{x})(\sum \dfrac{a}{b})}{3}\ge 3$
$=(\sum \dfrac{xy}{xyz})(\sum \dfrac{a^2c}{abc})\ge 9$ Şimdi $A.G.O$ yapalım , $a^2c+b^2a+c^2b\ge 3abc$ elde ederiz.

Sonuç olarak Eşitsizlik kanıtlanmış olur.

Yine yanlış yaptığım yer olursa belirtin bir de doğru çözümünü de yazabilirseniz çok teşekkür ederim . İyi çalışmalar.

[ArtOfMathSolving]

2. Maddeyi çözemedim , çözümü elinizde mi acaba ?

[MATSEVER 27]

Hatırlamıyorum ancak bulabilirsem paylaşacağım. Ayrıca çözümünüzdeki Cheybshevde $x\ge y \ge z$ ve $a\ge b \ge c$ için $\dfrac{1}{y} \ge \dfrac{1}{z} \ge \dfrac{1}{x}$ ve $\dfrac{a}{b} \ge \dfrac{b}{c} \ge \dfrac{c}{a}$ olması gerekir ama ne yazık ki bu her zaman mümkün değildir.

[ArtOfMathSolving]

$xyz=1$ koşulunu sağlayan $x,y,z$ pozitif gerçelleri $9+\sum xz\ge \sum b(b+3)$ koşulunu da sağlamazlar mı ? Dediğiniz koşulları sağlamayan sayı aklıma gelmedi? Çalışmalarınızda kolaylıklar.