EŞİTSİZLİK $112$

[MATSEVER 27]

Tüm $x,y,z$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\sqrt {1+{\frac { \left( x-y \right) \left( x-z \right) }{xy+xz+yz}}}
+\sqrt {1+{\frac { \left( y-z \right) \left( y-x \right) }{xy+xz+yz}}
}+\sqrt {1+{\frac { \left( z-x \right) \left( z-y \right) }{xy+xz+yz}
}}\geq 3$$
olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Çözüm hatalıdır, inceleyeceğim.
Jensen Eşitsizliğini kullanacağız.
$\sum{\sqrt{1+\frac{(x-y)(x-z)}{xy+xz+yz}}}\geq 3\sqrt{\frac{\frac{(x-y)(x-z)+(y-z)(y-x)+(z-x)(z-y)}{xy+yz+zx}+3}{3}}\geq 3\sqrt{\frac{(x-y)(x-z)+(y-z)(y-x)+(z-x)(z-y)}{3(xy+xz+yz)}+1}\geq 3$
Yani $(x-y)(x-z)+(y-z)(y-x)+(z-x)(z-y)\geq 0$ olmalı. İfadeyi açarsak,
$(x^2-xz-xy+yz)+(y^2-xy-yz+xz)+(z^2-yz-xz+xy)=x^2+y^2+z^2-xy-yz-xy$.
Ki biz $xy+yz+xy\leq x^2+y^2+z^2$ olduğunu Cauchy'den zaten biliyoruz. Bu da ispatı bitirir.