Fonksiyonel Eşitsizlik

[MATSEVER 27]

$f: [a,b]\to \mathbf{R^+}$ bir fonksiyon olmak üzere tüm $x,y \in [a,b]$ gerçel sayıları için $f(x)+f(y) \ge 2 f\left(\dfrac{x+y}{2} \right)$ eşitsizliği sağlanmaktadır. Buna göre $a_1+a_2+\ldots +a_n=1$ olmasını sağlayan negatif olmayan $a_1,a_2, \ldots ,a_n $ sayıları ve tüm $x_1,x_2, \ldots ,x_n \in [a,b]$ sayıları için;
$$((f(x_1))^3+(f(x_2))^3+\ldots+(f(x_n))^3).(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2) \ge f(a_1x_1+a_2x_2+\ldots +a_nx_n)^3$$
olduğunu gösteriniz.