Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 08

[ERhan ERdoğan]

$a_{i}\in \left \{ 0,1 \right \}$ olmak üzere, kaç $(a_{1},a_{2}, \dots , a_{11})$ onbirlisi $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5} \geq$ $a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}+a_{11}$ koşulunu sağlar?

$
\textbf{a)}\ 682
\qquad\textbf{b)}\ 758
\qquad\textbf{c)}\ 864
\qquad\textbf{d)}\ 956
\qquad\textbf{e)}\ 1024
$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Yanıt:$\boxed{E}$

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$  ifadesinin alabileceği değerler  $0,1,2,3,4,5$  tir. Durum inceleyelim. Durumları incelerken $1$ leri dağıtma amaçlı inceleyeceğiz. Örneğin   $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=1$  ise  $\dbinom{5}{1}$  diye.

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=0$  ise  $a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}+a_{11}=0$  olamlıdır.  $1$  durum.

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=1$  ise  $a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}+a_{11}=0,1$  olmalıdır.  Bu durumları sayarsak  $\dbinom{5}{1}\cdot \left (\dbinom{6}{0}+\dbinom{6}{1} \right )=35$   durum

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=2$  ise  $a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}+a_{11}=0,1,2$  olmalıdır.  Bu durumları sayarsak   $\dbinom{5}{2} \cdot \left (\dbinom{6}{0}+\dbinom{6}{1}+\dbinom{6}{2} \right )=220$    durum

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=3$   ise  $a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}+a_{11}=0,1,2,3$  olmalıdır.  Bu durumları sayarsak    $\dbinom{5}{3} \cdot \left (\dbinom{6}{0}+\dbinom{6}{1}+\dbinom{6}{2}+\dbinom{6}{3} \right )= 420$  durum

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=4$   ise  $a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}+a_{11}=0,1,2,3,4$  olmalıdır.  Bu durumları sayarsak    $\dbinom{5}{4} \cdot \left (\dbinom{6}{0}+\dbinom{6}{1}+\dbinom{6}{2}+\dbinom{6}{3}+\dbinom{6}{4} \right )= 285$   durum

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=5$   ise  $a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}+a_{11}=0,1,2,3,4,5$  olmalıdır.  Bu durumları sayarsak    $\dbinom{5}{5} \cdot \left (\dbinom{6}{0}+\dbinom{6}{1}+\dbinom{6}{2}+\dbinom{6}{3}+\dbinom{6}{4}+\dbinom{6}{5} \right )= 63$   durum

Cevap  $1+35+220+420+285+63=1024$   bulunur.

[geo]

$a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11} >$ $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$ istenmeyen koşuldur. Toplamda $2^{11} = 2048$ onbirli olduğu için istenen koşulları bulmak için $2048$'den istenmeyen koşulları çıkartacağız.

$(a_{1},a_{2}, \dots , a_{10})$ onluları arasından $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 =$ $a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10}$ eşitliğini sağlayanların sayısı $x$ olsun. Bu durumda $a_{11} = 1$ olduğunda $x$ adet istenmeyen koşul elde edeceğiz.
Onluların sayısı $2^{10} = 1024$ olduğu için $a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} >$ $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$ şeklindeki onluların sayısı $\dfrac {1024 - x}2$ dir. $a_{11}$ nasıl seçilirse seçilsin $a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11} >$ $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$ olacağı için $\dfrac {1024 - x}2 \cdot 2 = 1024 - x$ adet daha istenmeyen koşul elde ederiz.

Bu durumda tüm istenmeyen koşulların toplam sayısı $1024$, dolayısıyla istenen koşulların sayısı $2048 - 1024 = 1024$ olacaktır.

[Eray]

Soru 2005 yılında sorulan 12. soru ile benzerlik göstermektedir.

Bkz: http://geomania.org/forum/2005-162/tubitak-lise-1-asama-2005-soru-12/