Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 03

[mehmetutku]

$1,\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots$ sonsuz geometrik dizisinin bazı elemanları silinerek toplamı $S$ ye eşit olan bir sonsuz geometrik dizi elde edilebiliyorsa, $S$ sayısı $\frac{1}{2015}, \frac{1}{215}, \frac{1}{15}, \frac{1}{5}$ değerlerinden kaçına eşit olabilir?

$\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Yanıt: $\boxed{B}$

Oluşan dizi  $\dfrac{1}{2^k}, \ \dfrac{1}{2^{k+a}}, \ \dfrac{1}{2^{k+2a}}, \ . \ . \ .$      şeklinde olur. Toplamı paranteze alırsak    $\dfrac{1}{2^k}\cdot(1+\dfrac{1}{2^a}+\dfrac{1}{2^{2a}}+\cdots)$  olur.  $|r|<1$ iken $1+ r + r^2 + \cdots = \dfrac{1}{1-r}$ ile verilen sonsuz toplam formülünden  bu ifade $\dfrac{1}{2^k}\cdot \dfrac{2^a}{2^a-1}$  e dönüşür.  Verilen şıklara $\dfrac{1}{x}$  diyelim. O zaman
 
$\dfrac{1}{2^k}\cdot \dfrac{2^a}{2^a-1}=\dfrac{1}{x}$  olur.  $2^{a}\cdot x=2^{k}\cdot (2^{a}-1)$  olur.  $x$ in verilen dört değeri de tek sayı olduğundan ve $2^{a}$  ile $2^{a}-1$  aralarında asal olduğundan dolayı $x=2^{a}-1$  olmak zorundadır.  Bu dört değerden bunu sağlayan sayı bir tanedir ve $15$  tir.