Açıortay - Çevrel Çember

[Bozkurt]

Ağırlık merkezi $G$, iç merkezi $I$ olan çeşitkenar bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesine ait iç açıortay doğrusu, üçgenin çevrel çemberini $A$ dışında $D$ noktasında kesiyor. $|AD| = |DB| + |DC|$ ise $GI \parallel BC$ olduğunu gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

$ABC$ üçgeninin $A$ köşesine göre dış teğet çemberinin merkezi $F$ olsun. iyi bilinen bir özellik olarak, $BICF$ bir kirişler dörtgenidir ve $D$ noktası da bu dörtgenin çevrel çemberinin merkezidir. $|IN|=x$, $|ND|=y$ dersek $|DB|=|DI|=|DC|=|DF|=x+y$ dir. Verilen $|DA|=|DB|+|DC|$ eşitliğinden dolayı $|AI|=x+y$ dir. $ABN$ üçgeninde iç açıortay ve dış açıortay teoremlerinden $\dfrac{|AF|}{|NF|}=\dfrac{|AB|}{|BN|}=\dfrac{|AI|}{|IN|}$ olup $\dfrac{3x+3y}{2x+y}=\dfrac{x+y}{x}$ yazılır. Bu eşitlikten $x=y$ elde edilir. Dolayısıyla $|AI|=2x$, $|IN|=x$ olup $\dfrac{|AB|}{|BN|}=\dfrac{|AG|}{|GM|}=2$ sağlandığından Thales teoremi gereğince $GI \parallel BC$ dir.

[Eray]

Lemma: $GI \parallel BC \Longleftrightarrow |AB|+|AC| = 2\cdot|BC|$

İspat:
a) $GI \parallel BC$ olsun.
$A$ köşesinden çıkan açıortay ve kenarortay ayakları sırasıyla $E$ ve $F$ olsun. $|AG|=2\cdot|GF|$ olduğu bilinen bir özelliktir. Thales Benzerliği gereği $|AI|=2\cdot|IE|$ olur. O halde Açıortay Teoremi gereği $|BA|=2\cdot|BE|$ ve $|CA|=2\cdot|CE|$ dir. Bu iki eşitlik taraf tarafa toplanırsa $|AB|+|AC| = 2\cdot|BC|$ eşitliği elde edilir.

b) $|AB|+|AC| = 2\cdot|BC|$ olsun.
$A$ köşesinden çıkan açıortay ve kenarortay ayakları sırasıyla $E$ ve $F$ olsun. Açıortay Teoremi gereği $\dfrac{|BA|}{|BE|}=\dfrac{|AI|}{|IE|}=\dfrac{|CA|}{|CE|}$ . $|AB|=2x, |AC|=2y, |BC|=x+y$ dersek, bu oranın sağlanması için $|BE|=x, |CE|=y$ olması gerekir. Dolayısıyla $\dfrac{|BA|}{|BE|}=\dfrac{|AI|}{|IE|}=2$ bulunur. $\dfrac{|AG|}{|GF|}=2$ olduğunu da bildiğimizden Thales Benzerliği gereği $GI \parallel BC$ olduğu bulunur.



Soruya dönelim. $ABDC$ kirişler dörtgeninde $AD$ açıortay olduğundan $[DB]$ ve $[DC]$ aynı açıyı gören kirişlerdir, dolayısıyla $|DB|=|DC|$ dir. O halde $|AD|=|DB|+|DC|=2\cdot|DB|$ dir.

Öte yandan, $ABDC$ kirişler dörtgeninde Batlamyus Teoremi gereği $|DB|\cdot|AC|+|DC|\cdot|AB|=|AD|\cdot|BC| \Longrightarrow |DB|\cdot\left(|AC|+|AB|\right) = 2\cdot|DB|\cdot|BC| \Longrightarrow |AB|+|AC| = 2\cdot|BC|$ dir ki, bu eşitlik $GI \parallel BC$ olduğunu gösterir.

[Bozkurt]

Benzerleri daha önce üretilmiştir belki ama ben Eray Bey'in çözümünü düşünerek hazırlamıştım soruyu.. Lokman Bey'e de teşekkür ederim tabii ki

[Lokman Gökçe]

Güzel bir problem kurgulamışsınız, tebrik ederim. Yeni problemlerinizi görmek isteriz, iyi çalışmalar.