üçgende ardışık uzunluklar [RMO]

[gahiax]

$ABC$ üçgeninin iç teğet çemberi, $BC, CA$ ve $AB$ kenarlarına sırasıyla $D, E, F$ noktlarında değmektedir. İç teğet çemberin yarıçapı $4$ ve $BD, CE , AF$ ardışık tamsayılar ise $ABC$ üçgeninin kenarlarını bulunuz.

[Bozkurt]

13-14-15

[Eray]

Üçgenin yarı çevresi $u$, iç teğet çemberinin yarıçapı $r$, alanı $\Delta=\sqrt{u\cdot (u-a) \cdot (u-b) \cdot (u-c)}$ ve $u.r=\Delta$ olduğunu biliyoruz.
Üçgenin kenarlarına $a-1, a, a+1$ diyelim. $u=\dfrac{3a}{2}, r=4, \Delta=\sqrt{\dfrac{3a}{2}\cdot\dfrac{a+2}{2}\cdot\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{a-2}{2}}$ dir
O halde $6a=\dfrac{a}{4}\cdot\sqrt{3(a^2-4)} \Longrightarrow 24^2 = 3(a^2-4) \Longrightarrow a^2=196 \Longrightarrow a=14$ bulunur. Dolayısıyla üçgenimizin kenarları $13,14,15$ tir.