Paralelkenarın köşelerine göre simetri

[geo]

$P(1,3)$, $D(4,5)$ ve $ABCD$ bir paralelkenar olmak üzere; $P$ nin $A$ ya göre simetriği $P_A$, $P_A$ nın $B$ ye göre simetriği $P_B$, $P_B$ nin $C$ ye göre simetriği $P_C(x,y)$ dir. Buna göre $x+y$ kaçtır?

[ahmedsyldz]

$P_C$, $P$ noktasının $D$ noktasına göre simetriğidir. Bu nedenle $P_C(8-1, 10-3)$ ve $x + y = 14$ olur.

İSPAT:
$ABCD$ bir paralelkenar olmak üzere $A(a, b)$, $B(c, d)$, $C(e, f)$ ve $D(a+e-c, b+f-d)$ olsun. Bir $P(x, y)$ noktası alalım. Bu durumda $P_A(2a - x, 2b - y)$, $P_B(2c - 2a + x, 2d - 2b + y)$ ve $P_C(2e - 2c + 2a - x, 2f - 2d + 2b - y)$ olur. ($P_A$, $P_B$, $P_C$ sorudaki tanıma göre kullanılmıştır) $|PP_C|$'nun orta noktası $(\frac{2e - 2c + 2a - x + x}{2}, \frac{2f - 2d + 2b - y + y}{2}) = D(a+e-c, b+f-d)$ olduğundan $P_C$, $P$ noktasının $D$ noktasına göre simetriğidir.

[geo]

$P_AP_BP_C$ üçgeninde benzerlikten $P_AP_C = 2\cdot BC = 2\cdot AD$.
$PA/PP_A=1/2$ ve $AD\parallel BC \parallel P_AP_C$ olduğu için ve $\triangle PAD \sim \triangle PP_AP_C$. Dolayısıyla $P, D, P_C$ doğrusal ve $PD=DP_C$ dir.