Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2011 Soru 20

[Egemen]

$2,3,\dots  ,2011$ tam sayılarından kaç tanesi karekökünden küçük olan en büyük tam sayı ile bölünür?

$\textbf{a)}\ 44\qquad\textbf{b)}\ 88 \qquad\textbf{c)}\ 89 \qquad\textbf{d)}\ 130 \qquad\textbf{e)}\ 131\ $

[Egemen]

Yanıt:$\boxed B$

Eğer sayı tam kare ise $n-1|n^2$ olan sayıları bulmalıyız. $n=1$ için koşul sağlanır. $n\neq1$ için $n-1\nmid\ n^2$ olduğu için koşulu sağlayan sadece $1$'dir.

O zaman sayı $0<k<2n+1$ olmak üzere $n^2+k$'dır.

$n|n^2+k$ olan sayıları bulmalıyız.

$n|n^2+k \rightarrow n|k$'dır. $k$ ya $n$ ya da $2n$'dir.

$44^2<2011<45^2$

$n=1,2,\dots ,43$ için ikişer tane $k$ değeri vardır.

$n=44$ için $k$'nın $2n$ olduğu durum $2013$'ten büyüktür. Bir $k$ değeri gelir.

$43.2+1+1=88$