Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2012 Soru 05

[Egemen]

$x$ pozitif gerçel sayısının tam sayı ve kesirli kısımlarının çarpımı $2$'den, $y$ pozitif gerçel sayısının tam sayı ve kesirli kısımlarının çarpımı da $3$'ten küçük değilse, $xy$ en az kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{183}{11} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{209}{12} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{245}{14} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{231}{13} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{271}{15}$

[mustafaemir]

Yanıt: $\boxed{B}$.

$x$ in tamdeğeri $a$ kesirli kısmı $b$ ise $ab\ge 2$ ve $b<1$ olduğundan $a\ge 3$ dür. $a=3$ durumunda $b$ en az $\dfrac{2}{3}$ olacağı için $x$ en az $3+\dfrac{2}{3}=\dfrac{11}{3}$ olur.
$y$ nin tam değeri $c$ kesirli kısmı $d$ ise $cd\ge 3$ ve $d<1$ olduğundan $c\ge 4$ dür. $c=3$ durumunda $d$ en az $\dfrac{3}{4}$ olacağı için $y$ en az $4+\dfrac{3}{4}=\dfrac{19}{4}$ olur.
Sonuç olarak $xy$ en az $\dfrac{11}{3}\cdot \dfrac{19}{4}=\dfrac{209}{12}$ olur.