Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1987 Soru 2

[geo]

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $A$ açısının açıortayı $BC$ kenarını $L$'de ve daha sonra $ABC$ üçgeninin çevrel çemberini $N$'de kesmektedir. $L$ noktasından $AB$ ve $AC$ kenarlarına çizilen dik doğrular $AB$ kenarını $K$'da ve $AC$ kenarını $M$'de kesmektedir. $AKNM$ dörtgeninin alanının $ABC$ üçgeninin alanına eşit olduğunu gösteriniz.

[geo]

$\angle BAN = \angle NAC = \angle NBC = \angle BCN$.
$AKLM$ kirişler dörtgeninin çevrel çemberi $BC$ yi ikinci kez $P$ de kessin.
$\angle KPL = \angle KAL = \angle CBN$ olduğu için $KP \parallel BN$ ve $\angle LAM = \angle MPC = \angle PCN$ olduğu için $PM \parallel CN$.
Paralellikten, $[BKP]=[KNP]$ ve $[CMP]=[PMN]$ olur. Bu durumda, $$ \begin{array}{rcl}[ABC] &=& [AKPM] + [BKP] + [CMP] \\ &=& [AKPM] + [KNP] + [PMN] \\ &=& [AKNM]\end{array}$$ olur.