Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2013 Soru 22

[Lokman Gökçe]

Onluk tabandaki yazılımı yalnızca $0$ ve $1$ rakamlarından oluşan ve $7$ ile bölünebilen bir pozitif tam sayının rakamlarının toplamı $7,10,18,100,2013$ değerlerinden kaçını alabilir?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Eray]

Yanıt: $\boxed{E}$

Sayının onluk tabandaki yazılımı yalnızca $0$ ve $1$ rakamlarından oluşuyorsa, sayı $10$'un kuvvetlerinin toplamı şeklindedir.
$10$'un kuvvetleri $\pmod 7$'de $1, 2, 3, 4, 5, 6$ verir. Yani soruyu şöyle düşünebiliriz: $1, 2, 3, 4, 5, 6$ sayılarından sırasıyla $7, 10, 18, 100, 2013$ adet seçilirse, kaçının toplamının $7$'ye bölünmesi mümkün kılınabilir?
Her şekilde mümkün olduğunu ispatlayalım. Sayının rakamları toplamı,

$7k$        $\Longrightarrow 7k$ adet $1$ seçersek toplam $7$'ye bölünür.
$7k+1 \Longrightarrow 7k-1$ adet $1$ ve $2$ adet $4$ seçersek toplam $7$'ye bölünür.
$7k+2 \Longrightarrow 7k+1$ adet $1$ ve $1$ adet $6$ seçersek toplam $7$'ye bölünür.
$7k+3 \Longrightarrow 7k+2$ adet $1$ ve $1$ adet $5$ seçersek toplam $7$'ye bölünür.
$7k+4 \Longrightarrow 7k+3$ adet $1$ ve $1$ adet $4$ seçersek toplam $7$'ye bölünür.
$7k+5 \Longrightarrow 7k+4$ adet $1$ ve $1$ adet $3$ seçersek toplam $7$'ye bölünür.
$7k+6 \Longrightarrow 7k+5$ adet $1$ ve $1$ adet $2$ seçersek toplam $7$'ye bölünür.

Yani, sayının rakamları toplamı $\pmod7$'de ne olursa olsun, $0$ ve $1$ rakamlarından oluşan sayının $7$'ye bölünmesi mümkün kılınabilir.
O halde sayının rakamları toplamı $7, 10, 18, 100, 2013$ değerlerinden beşini de alabilir.