Oran Orantı - 2014 UMO Geometri Sorusu Sonucu

[geo]

$\dfrac{c(a+c)}{b(a+b)} = \dfrac{a+c-b}{a+b-c} \Longleftrightarrow a^2 = b^2 + c^2$ önermesinin doğruluğunu araştırınız.

[Lokman Gökçe]

Üçgenin dik açılı olmasına gerek yoktur. $b=c$ durumunda da orantıdaki eşitlik sağlanıyor.

$\dfrac{c(a+c)}{b(a+b)} = \dfrac{a+c-b}{a+b-c} $
$ \Longleftrightarrow ca^2 + abc - c^2a + c^2a + c^2b - c^3 = a^2b + abc - b^2a + b^2a + b^2c - b^3 $
$ \Longleftrightarrow a^2(c-b) = (c^3 - b^3) - bc(c-b)$
$ \Longleftrightarrow a^2(c-b) =(c-b)(b^2 + c^2) $
$ \Longleftrightarrow b=c $ veya $ a^2 = b^2 + c^2$

Önerme doğru değildir. Eğer problemde ''ikizkenar olmayan $ABC$ üçgeni'' olduğu bilgisi verilirse önerme doğru olacaktır.