Tübitak Lise 1. Aşama 2005 Soru 11

[geo]

$x^2 + y^2 + 2x - 6y = 6$ eşitliğini sağlayan $(x, y)$ gerçel sayı ikilileri için, $(x - 1)^2 + (y - 2)^2$ ifadesi aşağıdaki değerlerden hangisini alamaz?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 9
\qquad\textbf{c)}\ 16
\qquad\textbf{d)}\ 23
\qquad\textbf{e)}\ 30
$

[t-temiz]

$x^2+y^2+2x-6y=(x+1)^2+(y-3)^2-10=6 \Rightarrow (x+1)^2+(y-3)^2=16=4^2$ Olur. Yani $A(x,y)$ noktasının $(-1,3)$ noktasına uzaklığı $4$ birimdir. O zaman $(x-1)^2+(y-2)^2$ ifadesi de bu noktanın $(1,2)$ noktasına olan uzaklığının karesidir. $A$ noktalarının geometrik yeri $(-1,3)$ merkezli ve $4$ birim yarıçaplı çemberdir.$(1,2)$ noktası çemberin içindedir. Dolayısıyla bu uzaklığın en küçük değeri için $A$ noktası $(-1,3)$ ve $(1,2)$'den geçen doğrunun üzerinde olmalıdır. Yarıçap $4$ olduğundan $A$ ile $(1,2)$ arasındaki uzaklık $4-\sqrt{(-1-1)^2+(3-2)^2}=4-\sqrt5 $ olur. Öyleyse soruda istenen değerler $(4-\sqrt5)^2$'den büyük veya eşit olmalıdır. $2$ bu koşulu sağlamaz. Cevap $A$