Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 09

[geo]

Çevresinin uzunluğu $\pi$ olan bir üçgenin dış bölgesinde kalan ve üçgene olan uzaklığı $1$ i aşmayan noktaların oluşturduğu bölgenin alanı nedir?

$
\textbf{a)}\ 4\pi
\qquad\textbf{b)}\ 3\pi
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{5\pi}2
\qquad\textbf{d)}\ 2\pi
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac {3\pi}2
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$A$, $B$, $C$ merkezli $1$ er yarıçaplı çemberler çizelim. Üçgene uzaklığı $1$ i aşmayan noktalar kümesi, bu çemberler ve onların ortak dış teğetlerinin aşağıdaki şekildeki gibi sınırladığı bölgedir.

Bu bölgeyi üç dikdörtgen ve üç daire dilimi şeklinde görebiliriz.
Üç dikdörtgenin toplam alanı $BC \cdot 1 + AC \cdot 1 + AB \cdot 1 = \pi$ dir.
Üç daire diliminin açıları toplamı $180^\circ - \angle A + 180^\circ - \angle B + 180^\circ - \angle C = 360^\circ$ olduğu için bunların alanları toplamı bir daire diliminin alanına, yani $\pi \cdot 1^2 = \pi$ ye eşit olacaktır.
Bu durumda, bölgenin toplam alanı $\pi + \pi = 2\pi$ olacaktır.