Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 10

[geo]

$x^3+3x^2-2x+4 \equiv 0 \pmod{25}$ ve $0\leq x < 25$ koşullarını sağlayan tam sayıların toplamı $25$ modunda aşağıdakilerden hangisine denktir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 17
\qquad\textbf{d)}\ 22
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$x \equiv 2 \pmod 5$ olduğu biraz denemeyle fark edilebilir. $x = 5k+2$ yazıp, $\bmod 25$ te incelersek

$(5k+2)^3 + 3(5k+2) - 2(5k+2) + 4 \equiv  60k + 8 + 60k+12 -10k - 4 + 4 \equiv 10k + 20 \equiv 0 \pmod {25}$

$10k+20 = 25m \Rightarrow 2k + 4 = 5m \Rightarrow k \equiv 3 \pmod 5$.

Bu durumda $x = 5(5n + 3) + 2 = 25n + 17$ olacaktır.