Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 04

[geo]

$x^2-ax-b$ polinomunun köklerinin $5$ ten büyük olmamasını sağlayan kaç $(a,b)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 40
\qquad\textbf{b)}\ 50
\qquad\textbf{c)}\ 65
\qquad\textbf{d)}\ 75
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$a,b$ pozitif olduğu için denklemin büyük kökü $\dfrac{a+ \sqrt {a^2 + 4b}}{2} \leq 5$ dir.

$\sqrt {a^2 + 4b} \leq 10 - a \Rightarrow a^2 + 4b \leq 100 + a^2 - 20a \Rightarrow 5a+b\leq 25$.

$a=1$ için $20$, $a=2$ için $15$, $a=3$ için $10$, $a=4$ için $5$, yani toplamda $20+15+10+5=50$ çözüm vardır.