Tübitak Lise 1. Aşama 2002 Soru 09

[geo]

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 5$, $|BC| = 9$ ve $|AC| = 8$ dir. $\widehat{BCA}$ nın açıortayı $BA$ yı $X$ noktasında, $\widehat{CAB}$ nin açıortayı $BC$ yi $Y$ noktasında kesiyor. $XY$ ve $AC$ doğrularının kesiştiği nokta $Z$ olmak üzere, $|AZ|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \sqrt{104}
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{145}
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt{89}
\qquad\textbf{d)}\ 9
\qquad\textbf{e)}\ 10
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

İddia: $ABC$ üçgeninde $[BZ]$ dış açıortay, $[CX]$ ve $[AY]$ iç açıortay ise $X,Y,Z$ doğrusaldır.

İspat:
$\triangle ABC$ de $X,Y,Z$ noktaları için Menelaus uygulayalım.
$$\dfrac{AX}{XB} \cdot \dfrac{BY}{YC} \cdot \dfrac{CZ}{ZA} = \dfrac{AC}{BC} \cdot \dfrac{AB}{AC} \cdot \dfrac{BC}{AB} = 1. \blacksquare$$

O halde, $BZ$ dış açıortaydır. $\dfrac{AZ}{CZ} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac 59 \Rightarrow AZ=10$.