Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 01

[ERhan ERdoğan]

$ABC$ üçgeninde $AD$ kenarortay olmak üzere, $m(\widehat{ADB})=45^{\circ}$ ve $m( \widehat{ACB})=30^{\circ}$ ise $\widehat{ABC}$ açısı kaç derecedir?

$
\textbf{a)}\ 75
\qquad\textbf{b)}\ 90
\qquad\textbf{c)}\ 105
\qquad\textbf{d)}\ 120
\qquad\textbf{e)}\ 135
$

[geo]

Yanıt: $\boxed {\text C}$

$B$ den $AC$ doğrusuna çizilen dikmenin ayağı $E$ olsun. $BEC$ üçgeni $30 - 60 - 90$ üçgeni olduğundan $|BD|=|CD|=|ED|=|BE|$ olur. $\angle ADE = \angle DAE = 15^\circ$ olduğundan $|AE|=|ED|=|BE|$ dir. Buradan da $\angle ABE = 45^\circ$ ve böylece $\angle ABC = 105^\circ$ elde ederiz.

Kaynak: Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$BD=DC=x$  diyelim. Buna göre Sinüs Teoreminden $AD=\dfrac{x\cdot \sin 30^{\circ}}{\sin 15^{\circ}}$  olur. $\angle ABC=\alpha$  için $\angle BAD=135^{\circ}-\alpha$  dır. $ABD$  üçgeninde Sinüs Teoreminden
$$\dfrac{AD}{\sin \alpha}=\dfrac{x}{\sin (135^{\circ}-\alpha)}\Longleftrightarrow \dfrac{\sin \alpha}{\sin (135^{\circ}- \alpha)}=\dfrac{\sin 30^{\circ}}{\sin 15^{\circ}}=\dfrac{\cos 15^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}=\dfrac{\sin 105^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}$$
elde edilir ve $\angle ABC=\alpha=105^{\circ}$  bulunur.