Tübitak Lise 1. Aşama 2009 Soru 04

[ERhan ERdoğan]

Biri $5$ diğeri $7$ ile bölünebilen iki bileşik pozitif tam sayının toplamı şeklinde yazılamayan en büyük tam sayı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 82
\qquad\textbf{b)}\ 47
\qquad\textbf{c)}\ 45
\qquad\textbf{d)}\ 42
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[t-temiz]

$A=5k+7m$ olacak şekilde $k$ ve $m$ sayma sayılarını arayacağız ; fakat bileşik olması gerektiğinden $k$ ve $m$ $1$'den büyük olmalıdır.
$82$ ve $45$ sayıları koşula uygun olarak yazılabilir. $47$ ve $42$ ise yazılamaz. Öyleyse cevap ya $47$ ya da hiçbiri olacaktır. $42$ olamaz ; çünkü $47$ daha büyüktür. Eğer cevap $47$ ise $47$'den büyük tüm doğal sayılar yazılabilir. Eğer $48,49,50,51,52$ sayılarını $5k+7m$ şeklinde yazarsak cevap $47$ olur ; çünkü $48$ yazılabilirse $53$ de yazılabilir tek yapılması gereken $k$'yi $1$ artırmaktır. Benzer mantıkla $49+5=54,50+5=55,51+5=56,52+5=57$ yazılabilir . Bu işleme devam edilerek $47$'den büyük tüm doğal sayılar yazılabilir.
$48=5.4+7.4$ , $49=5.7+7.2$ , $50=5.3+7.5$ , $51=5.6+7.3$ ve $52=5.2+7.6$ olduğundan gerçekten de $47$'den büyük tüm doğal sayılar koşula uygun olarak yazılabilir. Cevap $B$