Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2010 Soru 1

[geo]

Her $x,y \in \mathbb{R}$ için, $$f\left( \lfloor x\rfloor y\right) = f(x)\left\lfloor f(y)\right\rfloor$$ eşitliğini sağlayan tüm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ fonksiyonları belirleyiniz. (Burada $ \lfloor z \rfloor$ ile, $z$ yi aşmayan en büyük tam sayıyı gösteriyoruz.)

[diktendik]

Koyduğumuz $(x,y)$ ikililerini $P(x,y)$ olarak gösterelim.
$P(0,0):f(0)=f(0)\lfloor f(0)\rfloor\Rightarrow f(0)=0\hspace{2mm}\text{yada}\hspace{2mm}\lfloor f(0)\rfloor=1$
İkinci durumda $P(x,0):f(x)=f(0)$ bulunur. $1\leq c <2$ olmak üzere $f(x)=c$ bir çözümdür. İlk duruma bakalım.
$P(1,1):f(1)=f(1)\lfloor f(1)\rfloor \Rightarrow f(1)=0\hspace{2mm}\text{yada}\hspace{2mm}\lfloor f(1)\rfloor=1$.
İlk duruma bakalım.
$P(1,x):f(x)=0$. Yani her $x\in \mathbb{R}$ için $f(x)=0$ bir çözümdür. İkinci durumda
$P(x,1):f(\lfloor x\rfloor)=f(x)$ olur.
$P(3,\frac{1}{3}):f(1)=0$ olur. Deminki durum tekrar eder. Sonuç olarak cevap $1\leq c<2$ olmak üzere her $x\in \mathbb{R}$ için $f(x)=c$ yada her $x\in \mathbb {R}$ için $f(x)=0$'dır.