Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2013 Soru 3

[geo]

Bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesinin karşısındaki dışteğet çember $BC$ kenarına $A_1$ noktasında teğet olsun. Benzer şekilde, $B$ ve $C$ köşelerinin karşısındaki dışteğet çemberleri kullanarak $CA$ kenarı üzerinde $B_1$ ve $AB$ kenarı üzerinde $C_1$ noktalarını tanımlayalım. $A_1B_1C_1$ üçgeninin çevrel merkezi $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi üzerinde ise, $ABC$ üçgeninin bir dik üçgen olduğunu gösteriniz.

$ABC$ üçgeninin $A$ köşesinin karşısındaki dışteğet çember; $BC$ kenarına, $B$'nin ötesinde $AB$ ışınına ve $C$'nin ötesinde $AC$ ışınına teğet olan çemberdir. $B$ ve $C$ köşelerinin karşısındaki dışteğet çemberler de benzer biçimde tanımlanıyor.

[geo]

$(A_1B_1C_1)$ in merkezine $O$ diyelim. $O$, $AC$ küçük yayı üzerinde olsun.

$BC=a$, $AC=b$, $AB=c$ ve $u$ yarıçevre olsun.

$BC_1 = CB_1 = u-a$, $CA_1 = AC_1 = u-b$,  $AB_1 = BA_1 = u-c$ dir.

$(A_1B_1C_1)$ $BC$ yi ikinci kez $A_2$ noktasında kessin.

$\angle ABO = \angle OCA$, $OC_1 = OB_1$ ve $BC_1 = CB_1$ olduğu için $\sin \angle C_1OB = \sin \angle B_1OC$ dir. $\angle C_1OB + \angle B_1OC = 180^\circ$ olamayacağı için $\angle C_1OB = \angle B_1OC$ ve $\triangle OBC_1 \cong \triangle OCB_1$ dir. Bu durumda $OB=OC$ ve dolayısıyla $B$ ve $C$ noktalarının $(A_1B_1C_1)$ çemberine göre kuvvetleri eşit olacağı için $BA_2 = A_1C = u-b$ dir.

$BC_1$ ile $CB_1$ doğruları $(A_1B_1C_1)$ i ikinci kez sırasıyla $C_2$ ve $B_2$ noktalarında kessin. $B$ ve $C$ noktalarının bu çembere göre kuvvetleri eşit olacağı ve $BC_1 =CB_1$ olduğu için $C_1C_2 = B_1B_2$, dolayısıyla da $AC_2 = AB_1 = u-c$ olacaktır.

Son durumda, $B$ noktasının $A_1B_1C_1$ çemberine göre kuvvetini yazarsak, $$BA_2 \cdot BA_1 = BC_1 \cdot BC_2 \Rightarrow (u-b)(u-c) = (u-a)(u)$$ elde ederiz.
İki tarafı da $u(u-a)$ ile çarpıp iki tarafında da kökünü alırsak $$\sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)} = u(u-a) = ur \Rightarrow u-a=r \Rightarrow \angle BAC = 90^\circ$$ olacaktır.