$r+R \leq \max(h_i)$

[geo]

İç teğet çemberinin yarıçapı $r$, çevrel çemberinin yarıçapı $R$ ve en büyük yüksekliği $h$ olan dar açılı bir üçgende $r+R\leq h$ olduğunu gösteriniz. Eşitliğin hangi durumda sağlandığını belirtiniz.

(Paul Erdős)

[ERhan ERdoğan]

ABC üçgeninin kenarları arasında $a \leqslant b \leqslant c$ eşitsizliği geçerli olsun. Çevrel çember merkezinin $a,b,c$ kenarlarına uzaklıklarını sırasıyla $x,y,z$ alalım.

$Alan(ABC) = \dfrac{a.h}{2}=\dfrac{a.x}{2}+\dfrac{b.y}{2}+\dfrac{c.z}{2}$

$\dfrac{ax}{2}+\dfrac{ay}{2}+\dfrac{az}{2} \leqslant \dfrac{ah}{2}$

$ x+y+z \leqslant {h} $   Carnot teoremine göre,

$R+r \leqslant h$ dır.

$ R+r=h=x+y+z$ eşitliğinin sağlandığını kabul edelim.

$\dfrac{ah}{2}=\dfrac{xa}{2}+\dfrac{by}{2}+\dfrac{zc}{2} \Rightarrow ay+az = by+cz \Rightarrow y(a-b)+z(a-c)=0$

$y$ veya $z$ den en fazla bir tanesi sıfır olabilir.

$y=0 \Rightarrow a=c $ olur. bu durumda $\angle{B}=90^{\circ} , a=c$ olan ikizkenar dik üçgendir.

$z=0$ içinde $\angle{C}=90^{\circ} , a=b$  olan ikizkenar dik üçgendir.

$y,z\neq 0 $ için $a-b=0$ ve $a-c=0$ olacağından $a=b=c$ olup üçgen eşkenardır.