Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 31

[ERhan ERdoğan]

$i^{2}+j^{2}+k^{2}=2011$ koşulunu sağlayan $i,j,k$ tam sayıları için, $i+j+k$ ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 71
\qquad\textbf{b)}\ 73
\qquad\textbf{c)}\ 74
\qquad\textbf{d)}\ 76
\qquad\textbf{e)}\ 77
$

[Eray]

Yanıt: $\boxed{E}$

Karesel-Aritmetik Ortalama Eşitsizliği uygulanırsa, $\sqrt{\dfrac{i^2+j^2+k^2}{3}}\geq\dfrac{i+j+k}{3} \Longrightarrow 6033\geq (i+j+k)^2 \Longrightarrow 77\geq i+j+k$ elde edilir. ($i,j,k$ tamsayı olduğundan)
Öte yandan, $i^2+j^2+k^2=2011\equiv 3 \pmod 4$ şartının sağlanması için, $i$, $j$, $k$ sayılarının hepsi tek olmalıdır. (Bkz. Kare Kalanlar)
$i$, $j$, $k$ sayıları eşit olduğunda $i+j+k$ toplamının $77$'ye çok yakın olacağını biliyoruz. $77$'ye eşit olması için de birbirlerine oldukça yakın olmalıdırlar. $\dfrac{77}{3}=25,\bar3$ olduğundan $25$'e yakın tüm tek sayıların karelerini inceleyelim.
$21^2=441$
$23^2=529$
$25^2=625$
$27^2=729$
$29^2=829$
$i+j+k=77$ olabiliyorsa, $(21,27,29), (23,25,29)$ üçlülerinden biri bunu sağlayabilir. Denenirse, $21^2+27^2+29^2=2011$'dir.
O halde $i+j+k$ toplamı en fazla $77$ olabilir. Sağlayan $(i,j,k)$ üçlüsü $(21,27,29)$'dur.