Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 19

[ERhan ERdoğan]

$x^{4}-7x^{3}+14x^{2}-14x+4=0$  denkleminin gerçel köklerinin toplamı nedir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

[kombinatorist]

Yanıt: $\boxed{E}$

$x^4-7x^3+14x^2-14x+4=(x^2-5x+2)(x^2+2x+2)=0$ olduğuna göre (çarpanlara ayırmada zorlanılırsa deneme yoluyla da ayrılabilir.)
$2.$ çarpandan reel kök gelmez(diskriminant $0$'dan küçüktür.) $1.$ çarpandan gelen köklerin toplamı da $5$ olarak bulunur.

[ERhan ERdoğan]

Yanıt: $\boxed{E}$

Denklemin bütün terimlerini $x^2$ ye bölelim.

$x^2-7x+14-14\dfrac{1}{x}+4\dfrac{1}{x^2}=0$

$x^2+\left (\dfrac{2}{x} \right )^2 - 7 \left (x+\dfrac{2}{x} \right ) + 14 =0$

$\left (x+\dfrac{2}{x} \right )^2-7 \left (x+\dfrac{2}{x} \right )+10=0$

$\left (x+\dfrac{2}{x}-2 \right ) \left (x+\dfrac{2}{x}-5 \right ) = 0$

$(\underset{\Delta <0}{\underbrace{x^2-2x+2}})(\underset{\Delta >0}{\underbrace{x^2-5x+2}})=0$

Denklemi sağlayan kökler ikinci çarpana ait olup toplamları $5$ dir.

[Lokman Gökçe]

$x^{4}-7x^{3}+14x^{2}-14x+4= (x^4+4)-7x(x^2-2x+2)$ şeklinde yazalım. Terim ekleme - çıkarma ile

$x^4+4=(x^4+4x^2+4)-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$ şeklinde çarpanlara ayrılabildiğinden

$(x^4+4)-7x(x^2-2x+2)=(x^2-2x+2)(x^2-5x+2)=0$ olur. $x^2-2x+2=0$ denkleminin gerçel kökü yoktur. $x^2-5x+2=0$ denkleminin kökleri gerçel sayılar olup bu köklerin toplamı $x_1+x_2=5$ tir.