Tübitak Lise Takım Seçme 1993 Soru 3

[Lokman Gökçe]

Her $n\ge 1$ için $b_{n+1}^{2}\ge \dfrac{b_{1}^{2}}{1^{3}}+ \dfrac{b_{2}^{2}}{2^{3}} + \ldots +\dfrac{b_{n}^{2}}{n^{3}}$ koşulunu sağlayan bir $(b_{n})$ pozitif reel sayı dizisi veriliyor. $$\sum_{n=1}^{K}{\dfrac{b_{n+1}}{b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n}}>\dfrac{1993}{1000}}$$ olacak şekilde bir $K$ tamsayısı bulunabileceğini gösteriniz.

[Metin Can Aydemir]

Verilen eşitsizliğe faydalı eşitsizlik uygularsak, $$b_{n+1}^{2}\geq \frac{b_{1}^{2}}{1^{3}}+ \frac{b_{2}^{2}}{2^{3}} + \cdots +\frac{b_{n}^{2}}{n^{3}}\geq \frac{(b_1+b_2+\cdots+b_n)^2}{1^3+2^3+\cdots+n^3}$$ $$\implies \frac{b_{n+1}}{b_1+b_2+\cdots +b_n}\geq \frac{1}{\sqrt{1^3+2^3+\cdots+n^3}}=\frac{2}{n(n+1)}$$ elde edilir. Dolayısıyla $$\sum_{n=1}^{K}\frac{b_{n+1}}{b_1+b_2+\cdots +b_n}\geq \sum_{n=1}^{K}\frac{2}{n(n+1)}=2\sum_{n=1}^{K}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=2-\frac{2}{K+1}$$ olacaktır. Eğer $K\geq 285$ alırsak, $$\sum_{n=1}^{K}\frac{b_{n+1}}{b_1+b_2+\cdots +b_n}\geq 2-\frac{2}{K+1}>\frac{1993}{1000}$$ elde edilir. Dolayısıyla $K\geq 285$ olan her $K$ tamsayısı için istenilen eşitsizlik sağlanır.